Задача 3

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Задача 3

а) От вершины S угла α (α < 180°) на одной стороне угла взяты точки A и M, на другой B и N (рис. 5), $SA = a$, $SB = b$, $AM = m$, $BN = n$ и справедливо равенство $a : b = m : n$. Через точки A и B, а также через точки M и N проведены прямые. Верно ли, что они параллельны?

б) В треугольнике ABC со сторонами $AB = 7$, $AC = 3$, $BC = 5$ на продолжении стороны BC за точку C взята точка K так, что $\angle KAC = \angle ABC$. Найти отрезок $KC$.

[Рисунок: угол с вершиной S; на одной стороне последовательно отмечены A и M, на другой — B и N; через A и B проведена прямая $l_1$, через M и N — прямая $l_2$; отмечены $SA = a$, $AM = m$, $SB = b$, $BN = n$ и угол α при вершине S. Подпись: Рис. 5.]

Answer

Кратко:
а) Да, прямые $AB$ и $MN$ параллельны.
б) $KC=\dfrac{9}{8}=1{,}125$.

а) Почему это так

По условию
$$
a:b=m:n \iff \frac{a}{b}=\frac{m}{n} \iff \frac{a}{m}=\frac{b}{n}.
$$
Но $a=SA$, $m=AM$, $b=SB$, $n=BN$, поэтому
$$
\frac{SA}{AM}=\frac{SB}{BN}.
$$

В треугольнике $SMN$ прямая $AB$ отсекает на сторонах $SM$ и $SN$ пропорциональные отрезки. По обратной теореме о пропорциональных отрезках $AB\parallel MN$.
Значит, ответ — да.

б) Решение через подобие

Пусть $KC=x$. Тогда
$$
KB=BC+KC=5+x.
$$

Так как $B,C,K$ лежат на одной прямой и $K$ находится за $C$, то
$$
\angle KBA=\angle ABC.
$$
По условию $\angle KAC=\angle ABC$, значит,
$$
\angle KAC=\angle KBA.
$$
Кроме того, $\angle AKC=\angle BKA$, поскольку лучи $KC$ и $KB$ совпадают.

Следовательно,
$$
\triangle KAC\sim\triangle KBA.
$$

Из подобия:
$$
\frac{KC}{KA}=\frac{KA}{KB}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{7}.
$$
Значит,
$$
\frac{KC}{KB}=\left(\frac{3}{7}\right)^2=\frac{9}{49}.
$$
Подставляем $KC=x$, $KB=5+x$:
$$
\frac{x}{5+x}=\frac{9}{49}.
$$
Отсюда
$$
49x=9(5+x),
$$
$$
49x=45+9x,
$$
$$
40x=45,
$$
$$
x=\frac{9}{8}.
$$

Ответ:
а) да, $AB\parallel MN$;
б) $\boxed{KC=\frac{9}{8}=1{,}125}$.

Задача 3

а) Почему это так

б) Решение через подобие

Обсуждение