1чи

Краткий ответ

\[ \int (2x^3 - x + 1)\,dx = \frac{x^4}{2} - \frac{x^2}{2} + x + C \]

Ключевые шаги

1. Интеграл суммы равен сумме интегралов: \[ \int (2x^3 - x + 1)\,dx = \int 2x^3\,dx - \int x\,dx + \int 1\,dx \]

2. Степенное правило: \(\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) при \(n \ne -1\). Множитель-число просто выносится:

• \(\int 2x^3\,dx = 2 \cdot \dfrac{x^{4}}{4} = \dfrac{x^{4}}{2}\);
• \(\int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}\);
• \(\int 1\,dx = x\).

3. Константу \(C\) пишем один раз в конце — она заменяет три отдельных постоянных, которые появились бы у каждого слагаемого.

Проверка — производная ответа должна дать исходную подынтегральную функцию: \[ \left(\frac{x^4}{2} - \frac{x^2}{2} + x + C\right)' = 2x^3 - x + 1 \] Совпало, значит первообразная найдена верно.

Это неопределённый интеграл: пределы интегрирования в условии не указаны. Если понадобится определённый, нужно подставить верхний и нижний пределы и вычесть.

На фото есть ещё пункты 2)–4); скажи, если нужно разобрать и их.