1,2,6,7,8

На фото две группы уравнений. Пункты 1 и 2 есть только в №208 (в верхней группе они обрезаны), поэтому решаю №208: пункты 1, 2, 6, 7, 8.

Краткий ответ

1. \(x=-1\)
2. корней нет
3. \(x\neq0\) — любое число, кроме 0
4. \(x=6\)
5. \(x\neq-\frac{1}{2}\) — любое число, кроме \(-\frac{1}{2}\)

Принцип

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[ \frac{A}{B}=0 \iff A=0 \text{ и } B\neq0. \]

Поэтому порядок такой:

1. Находим ОДЗ — все значения \(x\), при которых знаменатели не обращаются в нуль.
2. Приводим уравнение к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)}=0\).
3. Решаем \(P(x)=0\).
4. Отбрасываем корни, которые не входят в ОДЗ.
5. Если после упрощения получается \(0=0\), то решений бесконечно много — все \(x\) из ОДЗ.

Разбор пунктов

1) \(\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0\).

ОДЗ: \(x^2-2x+1=(x-1)^2\neq0\), значит \(x\neq1\).

Числитель: \(x^2-1=(x-1)(x+1)=0\). Корни: \(x=1\) и \(x=-1\).

Корень \(x=1\) запрещён ОДЗ. Остаётся \(x=-1\).

2) \(\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=0\).

ОДЗ: \(x^2-1\neq0\), то есть \(x\neq\pm1\).

Числитель: \(x^2-2x+1=(x-1)^2=0\), откуда \(x=1\).

Но \(x=1\) не входит в ОДЗ. Значит, корней нет.

6) \(\frac{2x-4}{x}-\frac{3x+1}{x}+\frac{x+5}{x}=0\).

ОДЗ: \(x\neq0\).

Складываем дроби: \[ \frac{2x-4-(3x+1)+(x+5)}{x}=0. \] Раскрываем скобки: \[ 2x-4-3x-1+x+5=0. \] Все члены сокращаются, получаем \(0=0\). Значит, уравнение верно при любом \(x\neq0\).

7) \(\frac{x}{x+6}-\frac{36}{x^2+6x}=0\).

ОДЗ: \(x+6\neq0\) и \(x^2+6x=x(x+6)\neq0\), то есть \(x\neq0\) и \(x\neq-6\).

Приводим к общему знаменателю \(x(x+6)\): \[ \frac{x^2}{x(x+6)}-\frac{36}{x(x+6)}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^2-36}{x(x+6)}=0. \] Числитель: \(x^2-36=(x-6)(x+6)=0\). Корни: \(x=6\) и \(x=-6\).

Корень \(x=-6\) запрещён ОДЗ. Остаётся \(x=6\).

8) \(\frac{2x^2+3x+1}{2x+1}-x=1\).

ОДЗ: \(2x+1\neq0\), то есть \(x\neq-\frac{1}{2}\).

Замечаем, что \(2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)\). Поэтому при \(x\neq-\frac{1}{2}\): \[ \frac{2x^2+3x+1}{2x+1}=x+1. \] Уравнение принимает вид: \[ x+1-x=1 \quad\Rightarrow\quad 1=1. \] Это верно при всех допустимых \(x\). Значит, подходит любое \(x\neq-\frac{1}{2}\).

Проверка

В пунктах 1, 2 и 7 именно ОДЗ отсеивает «лишний» корень. В пунктах 6 и 8 после упрощения получается тождество, поэтому решений бесконечно много, но с выколотой точкой (\(x=0\) или \(x=-\frac{1}{2}\)).