304. Решите неравенство:

Краткий ответ

а) \((-8;\,6)\) б) \((-\infty;\,1{,}5)\cup(2;\,+\infty)\) в) \((-\infty;\,-3)\cup(5;\,+\infty)\) г) \((1;\,1{,}2)\)

Как рассуждать

Квадратное неравенство решается через корни соответствующего уравнения и знак старшего коэффициента \(a\):

• если \(a>0\), парабола направлена ветвями вверх и принимает отрицательные значения между корнями, а положительные — снаружи;
• если \(a<0\), картина зеркальная; удобно умножить неравенство на \(-1\), не забыв поменять знак неравенства.

а) \(x^{2}+2x-48<0\)

\[ D=2^{2}-4\cdot 1\cdot(-48)=196,\qquad \sqrt{D}=14 \] \[ x_{1,2}=\frac{-2\pm 14}{2}:\quad x_1=6,\quad x_2=-8 \]

Ветви вверх, нужны значения меньше нуля — между корнями: \[ -8<x<6. \]

б) \(2x^{2}-7x+6>0\)

\[ D=49-48=1,\qquad x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{4} \] \[ x_1=2,\qquad x_2=1{,}5 \]

Ветви вверх, нужны значения больше нуля — снаружи корней: \[ x<1{,}5\ \text{или}\ x>2. \]

в) \(-x^{2}+2x+15<0\)

Умножим на \(-1\), знак неравенства меняется: \[ x^{2}-2x-15>0. \] \[ D=4+60=64,\qquad x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2} \] \[ x_1=5,\qquad x_2=-3 \]

Ветви вверх, нужны значения больше нуля — снаружи корней: \[ x<-3\ \text{или}\ x>5. \]

г) \(-5x^{2}+11x-6>0\)

Умножим на \(-1\): \[ 5x^{2}-11x+6<0. \] \[ D=121-120=1,\qquad x_{1,2}=\frac{11\pm 1}{10} \] \[ x_1=1{,}2,\qquad x_2=1 \]

Ветви вверх, нужны значения меньше нуля — между корнями: \[ 1<x<1{,}2. \]

Проверка

Подставим по одной точке из ответа:

• а) \(x=0\): \(-48<0\) — верно;
• б) \(x=0\): \(6>0\) — верно; \(x=3\): \(18-21+6=3>0\) — верно;
• в) \(x=0\): \(15<0\) — неверно, значит ноль в решение не входит, как и должно быть;
• г) \(x=0\): \(-6>0\) — неверно; \(x=1{,}1\): \(-5\cdot1{,}21+12{,}1-6=0{,}05>0\) — верно.