19.11. 1) sin3x · cos3x = 0,5; 2) cos²2x − sin²2x = −√3/2;

На фото обведён номер 19.11 — решаю все четыре его уравнения.

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} 1)&\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3},\\ 2)&\quad x=\pm\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\\ 3)&\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\\ 4)&\quad x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}, \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z. \]

Как решать

Основной приём — свернуть левую часть по формулам двойного угла:

\[ 2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha,\qquad \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha. \]

1. \[ \sin3x\cos3x=\frac12\sin6x. \] Тогда: \[ \frac12\sin6x=0{,}5 \quad\Rightarrow\quad \sin6x=1. \] Значит, \[ 6x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}. \]

2. \[ \cos^22x-\sin^22x=\cos4x. \] Получаем: \[ \cos4x=-\frac{\sqrt3}{2}. \] Поэтому \[ 4x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \] откуда \[ x=\pm\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}. \]

3. \[ \sin2x\cos2x=\frac12\sin4x. \] Тогда: \[ \frac12\sin4x=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad \sin4x=-1. \] Следовательно, \[ 4x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}. \]

4. \[ \sin^23x-\cos^23x=-\cos6x. \] Уравнение принимает вид: \[ -\cos6x=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad \cos6x=\frac12. \] Значит, \[ 6x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}. \]

Проверка: например, в первом уравнении при \(k=0\) получаем \(x=\frac{\pi}{12}\), тогда \(3x=\frac{\pi}{4}\) и \[ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} =\frac12. \] Верно.