сделай дз по номерам 101 102 103 оформление как на доске

Question

Расшифровка фото нейросетью:
101. На рисунке 60 OA=OD, OB=OC, ∠1=74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны; б) найдите угол ACD.

102. Отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC = ΔCDA.

103. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки P и P1 так, что AP=A1P1. Докажите, что ΔBPC = ΔB1P1C1.
[Рисунок 60: треугольники AOB и DOC с общей вершиной O; отмечены ∠1 и ∠2]

Дано: ΔABD и ΔACD, AB=AC, ∠1=∠2, AC=15 см, CD=5 см.
Доказать: ΔABD=ΔACD.
Найти: AB, BD.

1. Док-во. Рассмотрим ΔABD и ΔACD: AD — общая, AB=AC (по усл.), ∠1=∠2 (по усл.) => ΔABD=ΔACD (по двум сторонам и углу между ними).

2. Из равенства ΔABD и ΔACD => AC=AB=15 см, BD=CD=5 см. Ответ: 15 см, 5 см.
[Рисунок: треугольник ABC, точка D на стороне BC, отрезок AD; отмечены ∠1 и ∠2 при вершине A; подписи: 15 см у стороны AC, 5 см у отрезка CD]

Answer

Кратко: в № 101 ответ $\angle ACD=70^\circ$; в № 102 и № 103 нужно доказать равенство треугольников через признаки равенства. Ниже — оформление «как на доске»: Дано → Доказать → Доказательство → Ответ.

№ 101

Дано: $OA=OD$, $OB=OC$, $\angle 1=74^\circ$, $\angle 2=36^\circ$.

Доказать: $\triangle AOB=\triangle DOC$.

Найти: $\angle ACD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$:
$OA=OD$ — по условию;

$OB=OC$ — по условию;

$\angle AOB=\angle DOC$ — вертикальные углы.

2. Значит, $\triangle AOB=\triangle DOC$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

3. Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов:
$$
\angle OAB=\angle ODC,\qquad \angle OBA=\angle OCD.
$$

4. По рисунку $\angle 1$ и $\angle 2$ вместе с $\angle ACD$ связаны суммой углов треугольника, поэтому:
$$
\angle ACD=180^\circ-(74^\circ+36^\circ)=70^\circ.
$$

Ответ: $\angle ACD=70^\circ$.

№ 102

Дано: отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO=OC$, $BO=OD$.

Доказать: $\triangle ABC=\triangle CDA$.

Доказательство:

1. $\triangle AOB=\triangle COD$ по двум сторонам и вертикальному углу:
$$
AO=OC,\quad BO=OD,\quad \angle AOB=\angle COD.
$$
Следовательно, $AB=CD$.

2. $\triangle BOC=\triangle DOA$ по двум сторонам и вертикальному углу:
$$
BO=OD,\quad CO=AO,\quad \angle BOC=\angle DOA.
$$
Следовательно, $BC=AD$.

3. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$:
$AB=CD$ — из п. 1;

$BC=AD$ — из п. 2;

$AC$ — общая сторона.

4. Значит, $\triangle ABC=\triangle CDA$ по трём сторонам (третий признак).

Что важно понять: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то противоположные стороны равны — это и даёт равенство треугольников.

№ 103

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$; точки $P$ и $P_1$ лежат на $AB$ и $A_1B_1$, причём $AP=A_1P_1$.

Доказать: $\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1$.

Доказательство:

1. $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними:
$$
AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.
$$
Следовательно:
$$
BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1.
$$

2. Так как $P\in AB$, $P_1\in A_1B_1$ и $AP=A_1P_1$, то:
$$
PB=AB-AP,\qquad P_1B_1=A_1B_1-A_1P_1.
$$
Но $AB=A_1B_1$ и $AP=A_1P_1$, поэтому:
$$
PB=P_1B_1.
$$

3. Рассмотрим $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$:
$PB=P_1B_1$ — из п. 2;

$BC=B_1C_1$ — из п. 1;

$\angle B=\angle B_1$ — из п. 1.

4. Значит, $\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.

Что важно понять: сначала доказываем равенство «больших» треугольников, а потом переносим равные элементы на «маленькие».

Проверка: в № 101 сумма $74^\circ+36^\circ=110^\circ$, поэтому $180^\circ-110^\circ=70^\circ$. В № 102 и № 103 каждый раз используем готовый признак равенства треугольников, поэтому дополнительных вычислений не требуется.