9.4 (1,2)
Сверь числа и знаки с фото.
9.4. Решите неравенство:
- \(x^{2}(x+1)(x-4)>0\);
- \((1-2x)(x-3)^{9}(2x+7)^{6}(x+4)(x-2)^{2}>0\).
Краткие ответы
\[ x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty) \]
\[ x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3) \]
Как решать
Используем метод интервалов. Сначала находим нули произведения, затем учитываем кратность каждого корня:
- нечётная кратность — знак при переходе через точку меняется;
- чётная кратность — знак не меняется;
- все нули при строгом неравенстве \(>0\) не входят в ответ.
1) \(x^{2}(x+1)(x-4)>0\)
Нули: \[ x=-1,\quad x=0,\quad x=4. \]
У \(x=0\) кратность 2, значит, знак в этой точке не меняется. Но сама точка \(0\) не подходит, потому что там выражение равно нулю.
Знаки: \[ (-\infty;-1):+,\quad (-1;0):-,\quad (0;4):-,\quad (4;+\infty):+. \]
Поэтому: \[ x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty). \]
2) \((1-2x)(x-3)^{9}(2x+7)^{6}(x+4)(x-2)^{2}>0\)
Нули и их кратности:
\[ x=-4\ \text{— кратность }1, \] \[ x=-\frac72\ \text{— кратность }6, \] \[ x=\frac12\ \text{— кратность }1, \] \[ x=2\ \text{— кратность }2, \] \[ x=3\ \text{— кратность }9. \]
В крайнем правом промежутке знак отрицательный. Далее:
\[ (-\infty;-4):+, \] \[ \left(-4;-\frac72\right):-, \] \[ \left(-\frac72;\frac12\right):-, \] \[ \left(\frac12;2\right):+, \] \[ (2;3):+, \] \[ (3;+\infty):-. \]
Нам нужны промежутки со знаком \(+\), причём точка \(x=2\) выколота, так как выражение там равно нулю: \[ x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3). \]
Проверка: например, во втором неравенстве при \(x=1\) получается положительное значение, а при \(x=0\) — отрицательное. Это совпадает с расстановкой знаков.
Обсуждение
6 сообщений9.6 (2)
9.6 (2)
Краткий ответ
\[ x\in\left(-\frac23;3\right)\cup(3;+\infty) \]
Решение
Дано:
\[ |x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6)>0 \]
- Модуль неотрицателен, причём
\[ |x-3|=0 \quad \text{при } x=3, \]
поэтому \(x=3\) не входит в ответ.
- Рассмотрим квадратный трёхчлен:
\[ 3x^2-5x+6 \]
Его дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot6=25-72=-47<0. \]
Старший коэффициент положителен, значит,
\[ 3x^2-5x+6>0 \]
при всех \(x\). Этот множитель на знак не влияет.
- Остаётся:
\[ (3x+2)^3>0. \]
Так как куб сохраняет знак:
\[ 3x+2>0, \]
\[ x>-\frac23. \]
- Учитываем, что \(x\ne3\). Получаем:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac23;3\right)\cup(3;+\infty)} \]
Проверка: например, при \(x=0\) все множители положительны, неравенство верно; при \(x=-1\) множитель \((3x+2)^3\) отрицателен, поэтому неравенство не выполняется.
Для неравенства из 9.6 (2):
\[ |x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6)>0 \]
Ответ:
\[ x\in\left(-\frac{2}{3};3\right)\cup(3;+\infty) \]
Решение:
Квадратный трёхчлен: \[ 3x^2-5x+6 \] имеет дискриминант \[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot6=25-72=-47<0. \] Ветви параболы направлены вверх, поэтому \[ 3x^2-5x+6>0 \] при любом \(x\). На знак произведения он не влияет.
Модуль: \[ |x-3|\ge0, \] причём \[ |x-3|=0 \quad \text{только при } x=3. \] Так как неравенство строгое, \(x=3\) не входит в ответ. При \(x\ne3\) модуль положителен.
Остаётся: \[ (3x+2)^3>0. \] Куб имеет тот же знак, что и основание: \[ 3x+2>0, \] \[ x>-\frac{2}{3}. \]
Объединяем условия \(x>-\frac23\) и \(x\ne3\):
\[ \boxed{x\in\left(-\frac{2}{3};3\right)\cup(3;+\infty)} \]
Точка \(x=-\frac23\) тоже не входит, потому что там выражение равно нулю.
почему х=3 не входит в ответ
Потому что при \(x=3\) один из множителей равен нулю:
\[ |x-3|=|3-3|=0. \]
А всё произведение содержит этот множитель:
\[ |x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6). \]
Значит, при \(x=3\) всё выражение равно \(0\), какими бы ни были остальные множители.
А неравенство строгое:
\[ \ldots>0. \]
Ноль не больше нуля, поэтому \(x=3\) не подходит. В ответе эта точка «выколота»:
\[ \left(-\frac23;3\right)\cup(3;+\infty). \]
Если бы неравенство было нестрогим, то есть \(\ge 0\), тогда \(x=3\) вошло бы в ответ. А при \(x\ge 0\)… точнее, при \(x\), близких к \(3\), но не равных \(3\), модуль положителен, поэтому сама точка \(3\) только исключается, но знак при переходе через неё не меняется.
