213 (2) и 216

Ответ: 213(2) — \(x=-\dfrac12\); 216 — \(9\) км/ч.

213(2)

\[ \frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x-1}{3x+1}=\frac{6}{1-9x^2} \]

Сначала ограничения: \[ 3x-1\ne0,\quad 3x+1\ne0 \Rightarrow x\ne \pm\frac13. \]

Приводим левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{(3x+1)^2-(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)} =\frac{12x}{9x^2-1}. \]

Замечаем, что \[ \frac{6}{1-9x^2}=-\frac{6}{9x^2-1}. \]

Получаем: \[ \frac{12x}{9x^2-1}=-\frac{6}{9x^2-1}. \]

Знаменатель не равен нулю, поэтому можно приравнять числители: \[ 12x=-6, \] \[ x=-\frac12. \]

Проверка: \(-\frac12\ne \pm\frac13\), подстановка также даёт равные части. Корень подходит.

216

Пусть \(v\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда:

• против течения скорость равна \(v-3\);
• по течению — \(v+3\).

Время: \[ \frac{6}{v-3}+\frac{12}{v+3}=2. \]

Умножаем на \((v-3)(v+3)=v^2-9\): \[ 6(v+3)+12(v-3)=2(v^2-9). \]

Раскрываем скобки: \[ 6v+18+12v-36=2v^2-18, \] \[ 18v-18=2v^2-18, \] \[ 2v^2-18v=0, \] \[ 2v(v-9)=0. \]

Значит, \(v=0\) или \(v=9\). Но скорость лодки должна быть больше скорости течения, поэтому \(v>3\). Остаётся: \[ v=9. \]

Проверка: \[ \frac{6}{9-3}+\frac{12}{9+3}=1+1=2. \]

Ответ: \(9\) км/ч.

Главное: в дробных уравнениях сначала записывай ограничения, а в задачах на движение время считай как \(\dfrac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}\).