сделай отмеченные задания

Кратко:

• \(691(5)\): \(D(y)=[0;+\infty)\)
• \(691(6)\): \(D(y)=(-\infty;-1)\cup[1;+\infty)\)
• \(692(2)\): \(E(y)=[0;2]\)

691(5). \(y=\sin\sqrt{x}\)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ x\ge 0. \] Синус определён при любом аргументе, поэтому других ограничений нет.

\[ D(y)=[0;+\infty). \]

691(6). \(y=\cos\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\)

Нужно, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, а знаменатель не обращался в ноль: \[ \frac{x-1}{x+1}\ge 0,\qquad x\ne -1. \]

Решаем неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: \(x=1\) и \(x=-1\).

\[ x\in(-\infty;-1)\cup[1;+\infty). \]

Точка \(x=1\) включается, потому что под корнем получается \(0\). Точка \(x=-1\) выколота.

\[ D(y)=(-\infty;-1)\cup[1;+\infty). \]

692(2). \(y=1-\cos x\)

Известно, что для любого \(x\): \[ -1\le \cos x\le 1. \] Умножим на \(-1\): \[ -1\le -\cos x\le 1. \] Прибавим \(1\): \[ 0\le 1-\cos x\le 2. \]

Значит, \[ E(y)=[0;2]. \]

Оба конца достигаются: \(y=0\) при \(\cos x=1\), \(y=2\) при \(\cos x=-1\).

Проверка принципа: для области определения ищем ограничения: корень — подкоренное выражение \(\ge0\), знаменатель \(\ne0\). Для множества значений отталкиваемся от известного промежутка \(\cos x\in[-1;1]\) и преобразуем его.