210. Какова степень уравнения: а) 2x² − 6x⁵ + 1 = 0; б) x⁶ − 4x³ − 3 = 0;

Краткий ответ

а) 5; б) 6; в) 5; г) 2; д) 1; е) 1.

Как определять степень уравнения

Степень уравнения \(P(x)=0\) — это наибольшая степень \(x\) в многочлене после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Поэтому сначала уравнение приводят к виду «многочлен = 0», и только потом смотрят на старший показатель. Коэффициент при старшей степени должен быть не равен нулю.

Разбор по пунктам

• а) \(2x^2-6x^5+1=0\) — уже многочлен, старшее слагаемое \(-6x^5\). Степень 5.
• б) \(x^6-4x^3-3=0\) — старшая степень \(x^6\). Степень 6 (это уравнение 6-й степени, хотя оно «квадратное относительно \(x^3\)»).
• в) \(\frac{1}{7}x^5=0\) — коэффициент \(\frac{1}{7}\neq 0\), значит степень 5, а не 1.
• г) \((x+8)(x-7)=0\). Раскрываем скобки: \[(x+8)(x-7)=x^2-7x+8x-56=x^2+x-56,\] старшая степень 2.
• д) \(\frac{x}{2}-\frac{x}{4}=5\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{2x-x}{4}=5\), то есть \(\frac{x}{4}=5\), откуда \(x=20\). Это линейное уравнение, степень 1.
• е) \(5x^3-5x(x^2+4)=17\). Раскрываем скобки: \[5x^3-5x^3-20x=17 \;\Rightarrow\; -20x=17.\] Кубы взаимно уничтожились — уравнение линейное, степень 1.

Проверка

Подставим найденные значения: для д) \(x=20\): \(10-5=5\) — верно. Для е) \(x=-0{,}85\): \(5(-0{,}85)^3-5(-0{,}85)\bigl((-0{,}85)^2+4\bigr)=-3{,}070625+20{,}070625=17\) — верно. Значит, в пунктах д) и е) степень действительно понизилась до первой.

Главная ловушка здесь — пункты д) и е): «на глаз» видишь дробь или \(x^3\), но после упрощения старшие степени исчезают.