Реши пожалуйста
Сверь числа и знаки с фото.
- В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Кратко: № 7 — 5 %, № 8 — 17 %.
Задача 7
- Сначала найдём, сколько самого вещества в исходном растворе: \[ 5 \cdot 0{,}12 = 0{,}6 \text{ л}. \]
- После добавления 7 л воды объём раствора стал: \[ 5 + 7 = 12 \text{ л}. \]
- Количество вещества не изменилось, поэтому концентрация: \[ \frac{0{,}6}{12} \cdot 100\% = 5\%. \]
Задача 8
Пусть каждого раствора взяли по \(m\) литров.
- Вещества в первом растворе: \(0{,}15m\), во втором: \(0{,}19m\).
- Всего вещества: \[ 0{,}15m + 0{,}19m = 0{,}34m. \]
- Общий объём раствора: \[ m + m = 2m. \]
- Концентрация: \[ \frac{0{,}34m}{2m} = 0{,}17 = 17\%. \]
Принцип: при разбавлении и смешивании количество вещества складывается, количество раствора тоже складывается, а концентрация — это отношение вещества ко всему раствору. В задаче 8 массы растворов одинаковые, поэтому концентрация равна среднему арифметическому: \[ \frac{15 + 19}{2} = 17\%. \]
Обсуждение
3 сообщенияОбъясни 7 задачу подробнее
Задача 7 подробно
Условие: 5 л 12 %-го раствора разбавили 7 л воды. Какая концентрация получилась?
Что вообще означает «12 %-й раствор»
Запись «12 %» говорит: в каждых 100 л раствора содержится 12 л чистого вещества, остальное — вода (или растворитель). Это доля, а не количество. Поэтому нельзя сказать «12 л вещества» — важно, от какого объёма считать.
Шаг 1. Сколько чистого вещества в 5 л?
Считаем 12 % от 5 л. Процент — это сотая доля, значит:
\[ 12\% = \frac{12}{100} = 0{,}12, \]
\[ 5 \cdot 0{,}12 = 0{,}6 \text{ л}. \]
Проверим логикой: в 100 л было бы 12 л вещества, а у нас в 20 раз меньше раствора (5 л), значит и вещества в 20 раз меньше: \(12 : 20 = 0{,}6\) л. Сходится.
Шаг 2. Что изменилось после добавления воды
Добавили только воду. Значит:
- чистого вещества осталось столько же — 0,6 л (оно никуда не исчезло и не добавилось);
- общий объём раствора вырос:
\[ 5 + 7 = 12 \text{ л}. \]
Вот ключевая мысль: вещество не изменилось, а «размазалось» по большему объёму. Представь ложку сиропа: в стакане воды он сладкий, в ведре — почти нет, хотя сиропа столько же.
Шаг 3. Считаем новую концентрацию
Концентрация — это доля вещества во всём растворе:
\[ \frac{\text{вещество}}{\text{весь раствор}} = \frac{0{,}6}{12} = 0{,}05. \]
Переводим в проценты:
\[ 0{,}05 \cdot 100\% = 5\%. \]
Ответ: 5 %.
Проверка двумя способами
Способ 1 — обратная проверка. В 12 л 5 %-го раствора должно быть \(12 \cdot 0{,}05 = 0{,}6\) л вещества. Это ровно то, что мы нашли в шаге 1. ✔
Способ 2 — через отношение объёмов. Объём вырос с 5 до 12 л, то есть в
\[ \frac{12}{5} = 2{,}4 \]
раза. Вещества столько же, значит концентрация во столько же раз уменьшилась:
\[ \frac{12\%}{2{,}4} = 5\%. \]
Тот же ответ — значит, считать можно и так.
Общая формула
\[ c_{\text{нов}} = c_{\text{стар}} \cdot \frac{V_{\text{стар}}}{V_{\text{нов}}}. \]
При разбавлении концентрация падает во столько раз, во сколько вырос объём.
Частые ошибки
- Сложить или вычесть проценты: «12 % − что-то за счёт 7 л» — так нельзя, проценты относятся к разным объёмам.
- Считать 12 % от 7 л. Добавленная вода вещества не содержит, считать процент надо от исходного раствора.
- Забыть, что объём стал 12, а не 5 или 7. Новый раствор — это всё вместе: и старый раствор, и вода.
Мини-тренировка
Если 8 л 15 %-го раствора разбавить 4 л воды, получится: вещества \(8 \cdot 0{,}15 = 1{,}2\) л, объём \(12\) л, концентрация \(1{,}2 : 12 = 0{,}1 = 10\%\).
Реши пожалуйста
