1 Упростите выражение и найдите его значение: а) 1/2 p + 3/14 p при p = 3 1/2; б) 1 4/37 + 3/16 n - 4/37 + 2 2/3 n при n = 3 1/5.

Краткие ответы

1. а) \(2\frac12\);
   б) \(10\frac2{15}\).

2. а) \(x=5\);
   б) \(y=25\);
   в) \(x=2\).

---

Как решать

Главный приём: слагаемые с одинаковой переменной можно объединять:

\[ ap+bp=(a+b)p. \]

Сначала складываем или вычитаем коэффициенты, потом подставляем значение переменной либо решаем уравнение.

1. Упростить и найти значение

а)

\[ \frac12p+\frac3{14}p =\left(\frac7{14}+\frac3{14}\right)p =\frac{10}{14}p =\frac57p. \]

При \(p=3\frac12=\frac72\):

\[ \frac57\cdot\frac72=\frac52=2\frac12. \]

б)

Сначала объединим отдельно числа и отдельно слагаемые с \(n\):

\[ 1\frac4{37}-\frac4{37}=1, \]

\[ \frac3{16}n+2\frac23n =\left(\frac3{16}+\frac83\right)n =\frac{137}{48}n. \]

То есть выражение равно

\[ 1+\frac{137}{48}n. \]

При \(n=3\frac15=\frac{16}{5}\):

\[ 1+\frac{137}{48}\cdot\frac{16}{5} =1+\frac{137}{15} =10\frac2{15}. \]

---

2. Решить уравнения

а)

\[ \frac14x+\frac23x+\frac1{12}x=5 \]

Приведём коэффициенты к знаменателю \(12\):

\[ \left(\frac3{12}+\frac8{12}+\frac1{12}\right)x=5 \]

\[ 1\cdot x=5 \]

\[ x=5. \]

б)

\[ 3\frac15y-2\frac6{25}y=24 \]

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\[ \frac{16}{5}y-\frac{56}{25}y=24. \]

Приведём к знаменателю \(25\):

\[ \frac{80}{25}y-\frac{56}{25}y=24 \]

\[ \frac{24}{25}y=24. \]

Делим на \(\frac{24}{25}\), то есть умножаем на \(\frac{25}{24}\):

\[ y=24\cdot\frac{25}{24}=25. \]

в)

\[ 1\frac38x-\frac7{16}x=1\frac78 \]

\[ \frac{11}{8}x-\frac7{16}x=\frac{15}{8} \]

\[ \frac{22}{16}x-\frac7{16}x=\frac{15}{8} \]

\[ \frac{15}{16}x=\frac{15}{8} \]

\[ x=\frac{15}{8}\cdot\frac{16}{15}=2. \]

Проверка: подстановка \(x=5\), \(y=25\), \(x=2\) в исходные уравнения даёт верные равенства. Например, в в):
\(\frac{11}{8}\cdot2-\frac7{16}\cdot2=\frac{11}{4}-\frac78=\frac{15}{8}=1\frac78\).