Решите неравенство:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Решите неравенство:
- а) \((x-3)(x-7)>0\); в) \((x+4)(x+1)(x-9)>0\);
- а) \((x+2)(x-5)(x-12)>0\); в) \((x^2+9)(x-3)(x+6)\le 0\).
- а) \((3x-4)(x+7)<0\); б) \((8-x)(2x+10)\le 0\); в) \(-(x-3)(7-x)(x+5)>0\) Найдите область определения функции: а) \(y=\sqrt{(x+18)(30-x)}\);
- б) \(y=\sqrt{(x-5)(x+12)(x-21)}\).
Краткий ответ
- а) \(x\in(-\infty;3)\cup(7;+\infty)\) в) \(x\in(-4;-1)\cup(9;+\infty)\)
- а) \(x\in(-2;5)\cup(12;+\infty)\) в) \(x\in[-6;3]\)
- а) \(x\in\left(-7;\frac{4}{3}\right)\) б) \(x\in(-\infty;-5]\cup[8;+\infty)\) в) \(x\in(-5;3)\cup(7;+\infty)\)
- а) \(D(y)=[-18;30]\) б) \(D(y)=[-12;5]\cup[21;+\infty)\)
Принцип: метод интервалов
- Всё переносим в левую часть и раскладываем на линейные множители вида \((x-a)\).
- Находим нули каждого множителя и отмечаем их на числовой оси — они делят ось на промежутки.
- В крайнем правом промежутке знак равен знаку произведения старших коэффициентов; дальше знаки чередуются (у нас все множители в первой степени).
- Берём нужные промежутки: при строгом знаке нули не включаем (круглые скобки), при \(\le\) или \(\ge\) — включаем (квадратные).
Решения по шагам
1. а) \((x-3)(x-7)>0\). Нули 3 и 7. При \(x>7\) оба множителя положительны, значит «+»; левее чередование: \((-)\) на \((3;7)\), \((+)\) на \((-\infty;3)\). Нужен «+»: \[ (-\infty;3)\cup(7;+\infty) \]
1. в) \((x+4)(x+1)(x-9)>0\). Нули \(-4,\ -1,\ 9\). Справа «+», затем влево: \((-1;9)\) — минус, \((-4;-1)\) — плюс, \((-\infty;-4)\) — минус: \[ (-4;-1)\cup(9;+\infty) \]
2. а) \((x+2)(x-5)(x-12)>0\). Нули \(-2,\ 5,\ 12\); знаки: \(-,+,-,+\): \[ (-2;5)\cup(12;+\infty) \]
2. в) \((x^2+9)(x-3)(x+6)\le 0\). Так как \(x^2+9\ge 9>0\) при любом \(x\), этот множитель на знак не влияет. Остаётся \((x-3)(x+6)\le 0\) — между корнями, корни включаем: \[ [-6;3] \]
3. а) \((3x-4)(x+7)<0\). Нули \(x=\frac{4}{3}\) и \(x=-7\); старший коэффициент \(3>0\), поэтому «минус» между корнями: \[ \left(-7;\frac{4}{3}\right) \]
3. б) \((8-x)(2x+10)\le 0\), то есть \(2(8-x)(x+5)\le 0\). Нули \(8\) и \(-5\), старший коэффициент отрицательный, значит произведение \(\le 0\) вне корней: \[ (-\infty;-5]\cup[8;+\infty) \]
3. в) \(-(x-3)(7-x)(x+5)>0\). Заметим, что \(-(7-x)=x-7\), поэтому левая часть равна \((x-3)(x-7)(x+5)\). Нули \(-5,\ 3,\ 7\), знаки: \(-,+,-,+\), нужен «+»: \[ (-5;3)\cup(7;+\infty) \]
4. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
а) \((x+18)(30-x)\ge 0\) — парабола ветвями вниз, значит решение между корнями \(-18\) и \(30\): \[ D(y)=[-18;30] \]
б) \((x-5)(x+12)(x-21)\ge 0\). Нули \(-12,\ 5,\ 21\); знаки: \(-,+,-,+\); нужны «+» и нули: \[ D(y)=[-12;5]\cup[21;+\infty) \]
Проверка. Например, в 4. б) берём \(x=0\): \((-5)\cdot 12\cdot(-21)=1260\ge 0\) — подходит; \(x=10\): \(5\cdot 22\cdot(-11)<0\) — не подходит; \(x=22\): \(17\cdot 34\cdot 1>0\) — подходит. Аналогично проверяются остальные: достаточно взять по одной точке из каждого промежутка и убедиться, что знак совпадает с ответом.
Обсуждение
2 сообщениянапиши подробный ответ и без бесконечности
Краткий ответ (запись неравенствами)
- а) \(x<3\) или \(x>7\); в) \(-4<x<-1\) или \(x>9\)
- а) \(-2<x<5\) или \(x>12\); в) \(-6\le x\le 3\)
- а) \(-7<x<\frac{4}{3}\); б) \(x\le -5\) или \(x\ge 8\); в) \(-5<x<3\) или \(x>7\)
- а) \(-18\le x\le 30\); б) \(-12\le x\le 5\) или \(x\ge 21\)
Принцип метода интервалов
- Переносим всё в левую часть, чтобы справа был \(0\), и раскладываем на множители \((x-a)\).
- Находим нули множителей — они делят числовую прямую на промежутки.
- Определяем знак произведения в крайнем правом промежутке (он равен знаку произведения старших коэффициентов), дальше при переходе через каждый корень знак меняется, так как все множители в первой степени.
- Выбираем промежутки с нужным знаком. Строгий знак \(>\), \(<\) — концы не включаем; нестрогий \(\ge\), \(\le\) — концы включаем.
1. а) \((x-3)(x-7)>0\)
Нули: \(x=3\), \(x=7\).
| Промежуток | \(x-3\) | \(x-7\) | Произведение | Нужен \(>0\)? |
|---|---|---|---|---|
| \(x<3\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | да |
| \(3<x<7\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | нет |
| \(x>7\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | да |
Ответ: \(x<3\) или \(x>7\).
1. в) \((x+4)(x+1)(x-9)>0\)
Нули: \(x=-4\), \(x=-1\), \(x=9\). Старший коэффициент \(1>0\), значит при \(x>9\) произведение положительно.
| Промежуток | \(x+4\) | \(x+1\) | \(x-9\) | Произведение |
|---|---|---|---|---|
| \(x<-4\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-4<x<-1\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-1<x<9\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x>9\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Ответ: \(-4<x<-1\) или \(x>9\).
2. а) \((x+2)(x-5)(x-12)>0\)
Нули: \(-2,\ 5,\ 12\).
| Промежуток | \(x+2\) | \(x-5\) | \(x-12\) | Произведение |
|---|---|---|---|---|
| \(x<-2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-2<x<5\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(5<x<12\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x>12\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Ответ: \(-2<x<5\) или \(x>12\).
2. в) \((x^2+9)(x-3)(x+6)\le 0\)
Так как \(x^2\ge 0\), то \(x^2+9\ge 9>0\) при любом \(x\). Этот множитель всегда положителен и на знак произведения не влияет. Остаётся: \[ (x-3)(x+6)\le 0 \] Нули: \(-6\) и \(3\). Старший коэффициент \(1>0\), значит произведение отрицательно между корнями, а нули входят (знак нестрогий).
Проверка: \(x=0\) даёт \((-3)\cdot 6=-18\le 0\) — верно; \(x=10\) даёт \(7\cdot 16=112>0\) — не подходит.
Ответ: \(-6\le x\le 3\).
3. а) \((3x-4)(x+7)<0\)
Нули: \(3x-4=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}\); \(x+7=0\Rightarrow x=-7\). Так как \(\frac{4}{3}>-7\), порядок такой: \(-7\), \(\frac{4}{3}\).
| Промежуток | \(3x-4\) | \(x+7\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(x<-7\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-7<x<\frac{4}{3}\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(x>\frac{4}{3}\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Ответ: \(-7<x<\frac{4}{3}\).
3. б) \((8-x)(2x+10)\le 0\)
Запишем \(2x+10=2(x+5)\), тогда неравенство равносильно \((8-x)(x+5)\le 0\). Нули: \(x=8\) и \(x=-5\).
| Промежуток | \(8-x\) | \(x+5\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(x<-5\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-5<x<8\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x>8\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Знак \(\le\) выполняется слева и справа, нули включаем.
Проверка: \(x=0\) даёт \(8\cdot 5=40>0\) — не подходит; \(x=10\) даёт \((-2)\cdot 15=-30\le 0\) — подходит.
Ответ: \(x\le -5\) или \(x\ge 8\).
3. в) \(-(x-3)(7-x)(x+5)>0\)
Упростим: \(-(7-x)=x-7\), поэтому левая часть равна \[ (x-3)(x-7)(x+5)>0 \] Нули: \(-5,\ 3,\ 7\).
| Промежуток | \(x-3\) | \(x-7\) | \(x+5\) | Произведение |
|---|---|---|---|---|
| \(x<-5\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-5<x<3\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(3<x<7\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(x>7\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Ответ: \(-5<x<3\) или \(x>7\).
4. Область определения: подкоренное выражение неотрицательно
а) \(y=\sqrt{(x+18)(30-x)}\)
Нужно \((x+18)(30-x)\ge 0\). Нули: \(-18\) и \(30\).
| Промежуток | \(x+18\) | \(30-x\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(x<-18\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(-18<x<30\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x>30\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
Это парабола ветвями вниз, поэтому неотрицательна между корнями, корни включаем.
Проверка: \(x=0\) даёт \(18\cdot 30=540\ge 0\) — подходит; \(x=40\) даёт \(58\cdot(-10)<0\) — не подходит.
Ответ: \(D(y)\): \(-18\le x\le 30\).
б) \(y=\sqrt{(x-5)(x+12)(x-21)}\)
Нужно \((x-5)(x+12)(x-21)\ge 0\). Нули: \(-12,\ 5,\ 21\).
| Промежуток | \(x-5\) | \(x+12\) | \(x-21\) | Произведение |
|---|---|---|---|---|
| \(x<-12\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-12<x<5\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
| \(5<x<21\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x>21\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Проверка: \(x=0\) даёт \((-5)\cdot 12\cdot(-21)=1260\ge 0\) — подходит; \(x=10\) даёт \(5\cdot 22\cdot(-11)<0\) — не подходит; \(x=22\) даёт \(17\cdot 34\cdot 1>0\) — подходит.
Ответ: \(D(y)\): \(-12\le x\le 5\) или \(x\ge 21\).
Во всех заданиях достаточно проверить по одной точке из каждого промежутка — знак произведения должен совпасть со знаком в таблице.
