Найти площадь треугольника ABC, если A(2;1), B(-3;4) и C(1;1).

Краткий ответ

\[S_{ABC} = 1{,}5\]

Как это получается

Способ 1 — через основание и высоту (самый быстрый здесь).

Точки \(A(2;1)\) и \(C(1;1)\) лежат на одной горизонтали \(y=1\), значит \(AC\) — горизонтальный отрезок:

\[AC = |2-1| = 1\]

Высота, опущенная из \(B(-3;4)\) на прямую \(y=1\), — это разность ординат:

\[h = |4-1| = 3\]

Тогда

\[S = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot h = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3 = 1{,}5\]

Способ 2 — универсальная формула по координатам.

\[S = \frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)\right|\]

Подставляем:

\[S = \frac{1}{2}\left|2(4-1) + (-3)(1-1) + 1(1-4)\right| = \frac{1}{2}\left|6+0-3\right| = 1{,}5\]

Способ 3 — через векторы. \(\vec{AB}=(-5;3)\), \(\vec{AC}=(-1;0)\), модуль определителя:

\[S = \frac{1}{2}\left|(-5)\cdot 0 - 3\cdot(-1)\right| = \frac{1}{2}\cdot 3 = 1{,}5\]

Проверка и принцип

Все три способа дают одно и то же — значит, счёт верный. Главная идея: площадь треугольника по координатам — это половина модуля «косого произведения» двух векторов, выходящих из одной вершины. Ставь модуль, потому что порядок обхода вершин может дать отрицательное значение, а площадь всегда положительна. Если у фигуры есть горизонтальная или вертикальная сторона, проще считать через основание и высоту — ответ получится сразу.