Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x=2\) или \(x=3\).

На фото — задача 2.284, это другое задание; ниже решаю указанное уравнение.

Как рассуждать

Уравнение уже записано в стандартном виде: \[ x^2-5x+6=0. \]

Ищем два числа, которые при умножении дают \(6\), а при сложении — \(5\). Это \(2\) и \(3\), поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \] откуда \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Проверка \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Другой способ — через дискриминант \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}. \] Значит, \(x_1=3\), \(x_2=2\).

Принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) можно искать два числа, сумма которых равна \(-p\), а произведение — \(q\). В этом примере сумма корней равна \(5\), произведение — \(6\).