В параллелограмме ABCD на стороне ВС отметили середину М и на стороне CD точку К так, что СК = 6, KD = 10. Найдите длину отрезка АК, если известно, что угол AMK прямой.

Краткий ответ: \(AK=22\).

Как это понять

Поставим начало координат в точку \(C\), а сторону \(CD\) направим по оси \(x\). Тогда

\[ C=(0;0),\quad D=(16;0),\quad K=(6;0), \]

потому что \(CD=CK+KD=6+10=16\).

Пусть \(B=(2u;2v)\). Так как \(M\) — середина \(BC\), то

\[ M=(u;v). \]

В параллелограмме \(A=B+D\), значит

\[ A=(2u+16;2v). \]

Угол \(AMK\) прямой, поэтому векторы \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{MK}\) перпендикулярны. Их скалярное произведение равно нулю:

\[ \overrightarrow{MA}=(u+16;v),\qquad \overrightarrow{MK}=(6-u;-v). \]

\[ (u+16)(6-u)-v^2=0 \]

Отсюда

\[ v^2=(u+16)(6-u). \]

Теперь найдём \(AK\):

\[ AK^2=(2u+16-6)^2+(2v)^2 \]

\[ AK^2=(2u+10)^2+4v^2 =4\bigl((u+5)^2+v^2\bigr). \]

Подставляем \(v^2\):

\[ AK^2=4\bigl((u+5)^2+(u+16)(6-u)\bigr). \]

Раскрываем скобки:

\[ (u+5)^2+(u+16)(6-u) =u^2+10u+25+96-10u-u^2=121. \]

Значит,

\[ AK^2=4\cdot121=484, \]

\[ AK=\sqrt{484}=22. \]

Ответ: \(22\).