Домашняя работа: 2) (√x + x² + 1)/(x − 1) — найти производную

Подробный разбор по шагам

Условие и область определения

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x}+x^{2}+1}{x-1} \]

Корень требует \(x\ge 0\), знаменатель — \(x\neq 1\). Кроме того, в производной появится \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\), а это выражение существует только при \(x>0\). Итог:

\[ D(f')=(0;1)\cup(1;+\infty) \]

Что понадобится

Правило	Формула
Производная частного	\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\)
Производная корня	\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Производная степени	\((x^{2})'=2x\)
Производная константы	\((1)'=0\), \((x-1)'=1\)

Обозначим \(u=\sqrt{x}+x^{2}+1\) (числитель), \(v=x-1\) (знаменатель).

---

Шаг 1. Производные числителя и знаменателя

\[ u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x+0=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x \]

\[ v'=1 \]

Шаг 2. Подстановка в формулу частного

\[ f'=\frac{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2x\right)(x-1)-\left(\sqrt{x}+x^{2}+1\right)\cdot 1}{(x-1)^{2}} \]

Важно: минус стоит перед всем числителем, поэтому при раскрытии скобок знак меняется у каждого из трёх слагаемых.

Шаг 3. Раскрываем произведение (по частям)

Умножаем каждое слагаемое на \(x\) и на \(-1\):

\[ \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x=\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2} \]

\[ \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{x}} \]

\[ 2x\cdot x=2x^{2},\qquad 2x\cdot(-1)=-2x \]

Складываем:

\[ \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x\right)(x-1)=\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x^{2}-2x \]

Шаг 4. Вычитаем числитель целиком

\[ \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x^{2}-2x-\sqrt{x}-x^{2}-1 \]

Здесь и теряется слагаемое \(-1\): его часто забывают вычесть.

Шаг 5. Приводим подобные

\[ 2x^{2}-x^{2}=x^{2} \]

\[ \frac{\sqrt{x}}{2}-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2\sqrt{x}}{2}=-\frac{\sqrt{x}}{2} \]

Слагаемые \(-2x\) и \(-1\) остаются как есть, \(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\) тоже.

Получаем числитель:

\[ x^{2}-2x-1-\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Шаг 6. Записываем ответ

\[ f'(x)=\frac{x^{2}-2x-1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^{2}} \]

Шаг 7. Приведение к общему знаменателю (если требует учитель)

\[ \frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}=\frac{x+1}{2\sqrt{x}} \]

Поэтому числитель равен \(x^{2}-2x-1-\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}\), и

\[ f'(x)=\frac{2\sqrt{x}\,(x^{2}-2x-1)-(x+1)}{2\sqrt{x}\,(x-1)^{2}} \]

---

Проверка другим способом (деление «уголком»)

\[ x^{2}+1=(x-1)(x+1)+2 \]

Значит,

\[ f(x)=\frac{x^{2}+1+\sqrt{x}}{x-1}=x+1+\frac{2+\sqrt{x}}{x-1} \]

Дифференцируем эту запись:

\[ f'=1+\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x-1)-(2+\sqrt{x})}{(x-1)^{2}} \]

Числитель дроби:

\[ \frac{x-1}{2\sqrt{x}}-2-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}-2-\sqrt{x}=-\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}-2 \]

Складываем \(1=\dfrac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\):

\[ f'=\frac{(x-1)^{2}-2-\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^{2}} \]

Совпало с шагом 6 — значит, ответ верный.

Числовая проверка

Возьмём \(x=4\):

\[ f(4)=\frac{2+16+1}{3}=\frac{19}{3}\approx 6{,}3333 \]

По формуле:

\[ f'(4)=\frac{16-8-1-1-0{,}25}{9}=\frac{5{,}75}{9}\approx 0{,}6389 \]

Проверка через приращение: \(f(4{,}001)\approx 6{,}33397\), прирост \(0{,}00064\) на шаг \(0{,}001\) даёт \(\approx 0{,}64\). Сходится.

Где ошибка в работе на фото

В последней строке при вычитании числителя сохранили только \(-\sqrt{x}-x^{2}\), а слагаемое \(-1\) потеряли. Из-за этого нельзя правильно сгруппировать члены: коэффициент при \(x^{2}\) получается верным случайно, а свободный член — нет. Правильно: \(-\sqrt{x}-x^{2}-1\).

Ответ

\[ \boxed{f'(x)=\frac{x^{2}-2x-1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^{2}},\quad x>0,\ x\neq 1} \]

или в одной дроби:

\[ \boxed{f'(x)=\frac{2\sqrt{x}\,(x^{2}-2x-1)-(x+1)}{2\sqrt{x}\,(x-1)^{2}}} \]