205. Постройте график функции а) y = x² + 2x − 15; б) y = 0,5x² − 3x + 4; в) y = 4 − 0,5x²;

Краткий ответ

а) \(y=x^{2}+2x-15\) — ветви вверх, вершина \((-1;-16)\), нули \(x=-5\) и \(x=3\), точка на оси \(Oy\): \((0;-15)\).

б) \(y=0{,}5x^{2}-3x+4\) — ветви вверх, вершина \((3;-0{,}5)\), нули \(x=2\) и \(x=4\), точка на оси \(Oy\): \((0;4)\).

в) \(y=4-0{,}5x^{2}\) — ветви вниз, вершина \((0;4)\), нули \(x=\pm 2\sqrt{2}\approx \pm 2{,}83\), точки \((0;4)\), \((\pm 2;2)\), \((\pm 4;-4)\).

Как строить график \(y=ax^{2}+bx+c\)

1. Направление ветвей: \(a>0\) — вверх, \(a<0\) — вниз.
2. Вершина: \(x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\), затем \(y_{0}=y(x_{0})\). Прямая \(x=x_{0}\) — ось симметрии.
3. Нули (пересечение с \(Ox\)): решить \(ax^{2}+bx+c=0\), \(D=b^{2}-4ac\). Если \(D<0\), парабола ось \(Ox\) не пересекает.
4. Пересечение с \(Oy\): всегда \((0;c)\).
5. Нанести симметричные точки, соединить плавной кривой.

Решение по пунктам

а) \(a=1>0\) — ветви вверх. \[x_{0}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,\qquad y_{0}=1-2-15=-16\] \[D=4+60=64,\qquad x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2};\quad x_{1}=3,\ x_{2}=-5\] Точки для построения: \((-5;0)\), \((3;0)\), \((-1;-16)\), \((0;-15)\) и симметричная ей \((-2;-15)\), а также \((1;-12)\) и \((-3;-12)\).

б) \(a=0{,}5>0\) — ветви вверх. \[x_{0}=-\frac{-3}{2\cdot 0{,}5}=3,\qquad y_{0}=0{,}5\cdot 9-9+4=-0{,}5\] Умножим уравнение на 2: \(x^{2}-6x+8=0\), откуда \(x_{1}=2\), \(x_{2}=4\). Точки: \((2;0)\), \((4;0)\), \((3;-0{,}5)\), \((0;4)\) и \((6;4)\), ещё \((1;1{,}5)\) и \((5;1{,}5)\).

в) \(y=-0{,}5x^{2}+4\), здесь \(a=-0{,}5<0\) — ветви вниз, вершина \((0;4)\) (это наибольшее значение). Нули: \(4-0{,}5x^{2}=0 \Rightarrow x^{2}=8 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\). Точки: \((0;4)\), \((2;2)\), \((-2;2)\), \((4;-4)\), \((-4;-4)\).

Проверка

Подстановка вершины в формулу даёт её же \(y\): в а) \(y(-1)=1-2-15=-16\) ✔; в б) \(y(3)=4{,}5-9+4=-0{,}5\) ✔; в в) при \(x=0\) сразу \(y=4\) ✔. Корни тоже проверяются подстановкой: \(25-10-15=0\), \(9+6-15=0\) ✔.

Обрати внимание: в номерах 204 и 206 на фото видны только обрезанные края — их условия не читаются полностью. Пришли более чёткий кадр, если нужно и их.