номер 155 ,156

Понял: переделываю через ОДЗ и ограничения, без проверки корней подстановкой.

Правило: для \(\sqrt{A}=B\) должны выполняться условия \[ A\ge0,\qquad B\ge0. \] Корни, которые не входят в эти ограничения, сразу отбрасываем.

---

№ 155

1) \(\sqrt{x}-x=-12\)

Уединяем корень: \[ \sqrt{x}=x-12. \] Ограничения: \(x\ge0\) и \(x-12\ge0\), значит \(x\ge12\).

Возводим в квадрат: \[ x=(x-12)^2=x^2-24x+144, \] \[ x^2-25x+144=0. \] Корни: \(x=9\) и \(x=16\). В ОДЗ \(x\ge12\) входит только \(x=16\).

Ответ: \(16\).

---

2) \(x+\sqrt{x}=2(x-1)\)

\[ \sqrt{x}=2x-2-x=x-2. \] Ограничения: \(x\ge0\), \(x-2\ge0\), то есть \(x\ge2\).

Возводим в квадрат: \[ x=(x-2)^2=x^2-4x+4, \] \[ x^2-5x+4=0. \] Корни: \(x=1\) и \(x=4\). В ОДЗ \(x\ge2\) входит только \(x=4\).

Ответ: \(4\).

---

3) \(\sqrt{x-1}=x-3\)

Ограничения: \[ x-1\ge0,\qquad x-3\ge0, \] значит \(x\ge3\).

Возводим в квадрат: \[ x-1=(x-3)^2=x^2-6x+9, \] \[ x^2-7x+10=0. \] Корни: \(x=2\) и \(x=5\). В ОДЗ \(x\ge3\) входит только \(x=5\).

Ответ: \(5\).

---

4) \(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\)

Ограничения: \[ 6+x-x^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad -2\le x\le3, \] \[ 1-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le1. \] Общее ограничение: \[ -2\le x\le1. \]

Возводим в квадрат: \[ 6+x-x^2=(1-x)^2=1-2x+x^2, \] \[ 2x^2-3x-5=0. \] Корни: \[ x=-1,\qquad x=\frac52. \] В ограничение \(-2\le x\le1\) входит только \(x=-1\).

Ответ: \(-1\).

---

№ 156

1) \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\)

Изначально: \[ 2x-34\ge0,\quad x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge17. \]

Возводим в квадрат: \[ 2x-34=1+2\sqrt{x}+x, \] \[ x-35=2\sqrt{x}. \] Так как правая часть неотрицательна, нужно ещё \(x-35\ge0\), то есть \(x\ge35\).

Возводим в квадрат: \[ (x-35)^2=4x, \] \[ x^2-74x+1225=0. \] Корни: \(x=25\) и \(x=49\). В ограничение \(x\ge35\) входит только \(x=49\).

Ответ: \(49\).

---

2) \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\)

Ограничения: \[ 5x\ge0,\qquad 14-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad 0\le x\le14. \]

Возводим в квадрат: \[ 5x+14-x+2\sqrt{5x(14-x)}=64, \] \[ \sqrt{5x(14-x)}=25-2x. \] Нужно \(25-2x\ge0\), значит \(x\le12{,}5\). Поэтому \[ 0\le x\le12{,}5. \]

Возводим в квадрат ещё раз: \[ 5x(14-x)=(25-2x)^2, \] \[ 9x^2-170x+625=0. \] Корни: \[ x=5,\qquad x=\frac{125}{9}. \] Но \(\frac{125}{9}\approx13{,}9>12{,}5\), поэтому он не подходит. Остаётся \(x=5\).

Ответ: \(5\).

---

3) \(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\)

Ограничение: \[ x\ge-3. \]

Возводим в квадрат: \[ 15+x+3+x+2\sqrt{(15+x)(3+x)}=36, \] \[ \sqrt{(15+x)(3+x)}=9-x. \] Нужно \(9-x\ge0\), значит \(x\le9\). Общее ограничение: \[ -3\le x\le9. \]

Возводим в квадрат: \[ (15+x)(3+x)=(9-x)^2, \] \[ 45+18x+x^2=81-18x+x^2, \] \[ 36x=36, \] \[ x=1. \] Корень входит в ограничение.

Ответ: \(1\).

---

4) \(\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1\)

Ограничения: \[ 3-2x\ge0,\qquad 1-x\ge0. \] То есть \(x\le1\).

Уединяем корень: \[ \sqrt{3-2x}=1+\sqrt{1-x}. \] Правая часть положительна, поэтому возводим в квадрат: \[ 3-2x=1+2\sqrt{1-x}+1-x, \] \[ 1-x=2\sqrt{1-x}. \] Обозначим \(y=1-x\). По ОДЗ \(y\ge0\). Тогда \[ y=2\sqrt{y}. \] После возведения в квадрат: \[ y^2=4y, \] \[ y(y-4)=0. \] Значит \(y=0\) или \(y=4\).

Если \(y=0\), то \(1-x=0\), \(x=1\).

Если \(y=4\), то \(1-x=4\), \(x=-3\).

Оба значения входят в ОДЗ \(x\le1\).

Ответ: \(-3\) и \(1\).

---

Итог:
№ 155: \(16;\ 4;\ 5;\ -1\).
№ 156: \(49;\ 5;\ 1;\ -3\) и \(1\).

Ты прав: я сократил шаг и сразу выписал корни. Вот те же места с дискриминантом.

№ 155

1) \(x^2-25x+144=0\) \[ D=(-25)^2-4\cdot1\cdot144=625-576=49,\qquad \sqrt D=7. \] \[ x=\frac{25\pm7}{2}. \] Корни \(16\) и \(9\). По ОДЗ \(x\ge12\) остаётся \(16\).

2) \(x^2-5x+4=0\) \[ D=25-16=9,\qquad \sqrt D=3. \] \[ x=\frac{5\pm3}{2}. \] Корни \(4\) и \(1\). По ОДЗ \(x\ge2\) остаётся \(4\).

3) \(x^2-7x+10=0\) \[ D=49-40=9,\qquad \sqrt D=3. \] \[ x=\frac{7\pm3}{2}. \] Корни \(5\) и \(2\). По ОДЗ \(x\ge3\) остаётся \(5\).

4) \(2x^2-3x-5=0\) \[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49,\qquad \sqrt D=7. \] \[ x=\frac{3\pm7}{4}. \] Корни \(\frac52\) и \(-1\). По ОДЗ \(-2\le x\le1\) остаётся \(-1\).

№ 156

1) \(x^2-74x+1225=0\) \[ D=74^2-4\cdot1225=5476-4900=576,\qquad \sqrt D=24. \] \[ x=\frac{74\pm24}{2}. \] Корни \(49\) и \(25\). По ограничению \(x\ge35\) остаётся \(49\).

2) \(9x^2-170x+625=0\) \[ D=170^2-4\cdot9\cdot625=28900-22500=6400,\qquad \sqrt D=80. \] \[ x=\frac{170\pm80}{18}. \] Корни \(\frac{125}{9}\) и \(5\). По ограничению \(x\le12{,}5\) остаётся \(5\).

3) Здесь после раскрытия скобок \(x^2\) сокращается: \[ 45+18x+x^2=81-18x+x^2, \] \[ 36x=36. \] Уравнение стало линейным, поэтому дискриминант не нужен.

4) После замены \(y=1-x\) получилось \[ y^2-4y=0. \] Через дискриминант: \[ D=16,\qquad y=\frac{4\pm4}{2}. \] То есть \(y=4\) или \(y=0\). Оба значения неотрицательны, значит подходят. Возвращаемся к \(x\): \(x=1-y\), получаем \(-3\) и \(1\).

Вот эти вычисления я и подразумевал, когда сразу писал корни.

Проверил все итоговые корни подстановкой в исходные уравнения.

№ 155

1) \(x=16\) \[ \sqrt{16}-16=4-16=-12. \] Совпадает с правой частью \(-12\). Верно.

2) \(x=4\) \[ 4+\sqrt4=4+2=6, \] \[ 2(4-1)=2\cdot3=6. \] Обе части равны \(6\). Верно.

3) \(x=5\) \[ \sqrt{5-1}=\sqrt4=2, \] \[ 5-3=2. \] Верно.

4) \(x=-1\) \[ \sqrt{6+(-1)-(-1)^2}=\sqrt{6-1-1}=\sqrt4=2, \] \[ 1-(-1)=2. \] Верно.

№ 156

1) \(x=49\) \[ \sqrt{2\cdot49-34}=\sqrt{98-34}=\sqrt{64}=8, \] \[ 1+\sqrt{49}=1+7=8. \] Верно.

2) \(x=5\) \[ \sqrt{5\cdot5}+\sqrt{14-5}=\sqrt{25}+\sqrt9=5+3=8. \] Верно.

3) \(x=1\) \[ \sqrt{15+1}+\sqrt{3+1}=\sqrt{16}+\sqrt4=4+2=6. \] Верно.

4) \(x=1\): \[ \sqrt{3-2\cdot1}-\sqrt{1-1}=\sqrt1-\sqrt0=1-0=1. \] Верно.

\(x=-3\): \[ \sqrt{3-2\cdot(-3)}-\sqrt{1-(-3)}=\sqrt{3+6}-\sqrt{1+3}=\sqrt9-\sqrt4=3-2=1. \] Верно.

Итог проверки: все корни из ответов подходят: № 155 — \(16;\ 4;\ 5;\ -1\), № 156 — \(49;\ 5;\ 1;\ -3\) и \(1\). Отброшенные корни не подходят уже по ОДЗ, поэтому в ответ они не входят.

Первые два примера из №155 у тебя уже оформлены:
\(\sqrt{x}-x=-12\) → \(x=16\) (корень \(9\) не входит в ОДЗ);
\(x+\sqrt{x}=2(x-1)\) → \(x=4\) (корень \(1\) отбрасываем при проверке).

Ниже дорешиваю остальные — в том же порядке: ОДЗ → возведение в квадрат → корни → проверка.

---

№155

3) \(\sqrt{x-1}=x-3\)

ОДЗ: \[ \begin{cases} x-1\ge0,\\ x-3\ge0 \end{cases} \Rightarrow x\ge3. \]

Возводим в квадрат: \[ x-1=(x-3)^2, \] \[ x-1=x^2-6x+9, \] \[ x^2-7x+10=0. \]

По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1+x_2=7,\\ x_1x_2=10 \end{cases} \Rightarrow x_1=5,\quad x_2=2. \]

По ОДЗ \(x\ge3\), поэтому остаётся только \(x=5\).

Проверка: \[ \sqrt{5-1}=\sqrt4=2,\qquad 5-3=2. \] Верно.

Ответ: \(5\).

---

4) \(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\)

ОДЗ: \[ 6+x-x^2\ge0 \Rightarrow -2\le x\le3, \] \[ 1-x\ge0 \Rightarrow x\le1. \] Значит, \[ x\in[-2;1]. \]

Возводим в квадрат: \[ 6+x-x^2=(1-x)^2, \] \[ 6+x-x^2=1-2x+x^2, \] \[ 2x^2-3x-5=0. \]

Дискриминант: \[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49, \] \[ x=\frac{3\pm7}{4}. \] То есть \[ x_1=\frac{5}{2},\qquad x_2=-1. \]

В ОДЗ \([-2;1]\) входит только \(x=-1\).

Проверка: \[ x=-1: \quad \sqrt{6-1-1}=\sqrt4=2, \] \[ 1-(-1)=2. \] Верно.

Ответ: \(-1\).

---

№156

1) \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\)

ОДЗ: \[ 2x-34\ge0,\quad x\ge0 \Rightarrow x\ge17. \]

Возводим в квадрат: \[ 2x-34=1+2\sqrt{x}+x, \] \[ x-35=2\sqrt{x}. \]

Чтобы снова возводить в квадрат, нужно \(x-35\ge0\), то есть \(x\ge35\).

Возводим в квадрат: \[ (x-35)^2=4x, \] \[ x^2-74x+1225=0. \]

По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1+x_2=74,\\ x_1x_2=1225 \end{cases} \Rightarrow x_1=49,\quad x_2=25. \]

Условию \(x\ge35\) удовлетворяет только \(x=49\).

Проверка: \[ \sqrt{2\cdot49-34}=\sqrt{64}=8, \] \[ 1+\sqrt{49}=1+7=8. \] Верно.

Ответ: \(49\).

---

2) \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\)

ОДЗ: \[ 5x\ge0,\quad 14-x\ge0 \Rightarrow 0\le x\le14. \]

Возводим в квадрат: \[ 5x+14-x+2\sqrt{5x(14-x)}=64, \] \[ 4x+14+2\sqrt{5x(14-x)}=64, \] \[ 2\sqrt{5x(14-x)}=50-4x, \] \[ \sqrt{5x(14-x)}=25-2x. \]

Для следующего возведения в квадрат нужно: \[ 25-2x\ge0 \Rightarrow x\le12{,}5. \] Значит, \[ 0\le x\le12{,}5. \]

Возводим в квадрат: \[ 5x(14-x)=(25-2x)^2, \] \[ 70x-5x^2=625-100x+4x^2, \] \[ 9x^2-170x+625=0. \]

Дискриминант: \[ D=(-170)^2-4\cdot9\cdot625=6400, \] \[ \sqrt D=80. \] \[ x=\frac{170\pm80}{18}. \] \[ x_1=5,\qquad x_2=\frac{125}{9}. \]

Но \(\frac{125}{9}>12{,}5\), поэтому не подходит. Остаётся \(x=5\).

Проверка: \[ \sqrt{5\cdot5}+\sqrt{14-5}=\sqrt{25}+\sqrt9=5+3=8. \] Верно.

Ответ: \(5\).

---

3) \(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\)

ОДЗ: \[ 15+x\ge0,\quad 3+x\ge0 \Rightarrow x\ge-3. \]

Возводим в квадрат: \[ 15+x+3+x+2\sqrt{(15+x)(3+x)}=36, \] \[ 18+2x+2\sqrt{(15+x)(3+x)}=36, \] \[ \sqrt{(15+x)(3+x)}=9-x. \]

Для следующего возведения нужно: \[ 9-x\ge0 \Rightarrow x\le9. \] Значит, \[ -3\le x\le9. \]

Возводим в квадрат: \[ (15+x)(3+x)=(9-x)^2, \] \[ 45+18x+x^2=81-18x+x^2, \] \[ 36x=36, \] \[ x=1. \]

Проверка: \[ \sqrt{15+1}+\sqrt{3+1}=\sqrt{16}+\sqrt4=4+2=6. \] Верно.

Ответ: \(1\).

---

4) \(\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1\)

ОДЗ: \[ 3-2x\ge0,\quad 1-x\ge0. \] То есть \[ x\le1. \]

Уединяем корень: \[ \sqrt{3-2x}=1+\sqrt{1-x}. \]

Возводим в квадрат: \[ 3-2x=1+2\sqrt{1-x}+1-x, \] \[ 3-2x=2-x+2\sqrt{1-x}, \] \[ 1-x=2\sqrt{1-x}. \]

Возводим в квадрат: \[ (1-x)^2=4(1-x), \] \[ (1-x)^2-4(1-x)=0, \] \[ (1-x)(1-x-4)=0, \] \[ (1-x)(-x-3)=0. \]

Значит: \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-3. \]

Оба корня входят в ОДЗ \(x\le1\).

Проверка: \[ x=1: \quad \sqrt{3-2}-\sqrt{1-1}=1-0=1. \] Верно. \[ x=-3: \quad \sqrt{3+6}-\sqrt{1+3}=\sqrt9-\sqrt4=3-2=1. \] Верно.

Ответ: \(-3\) и \(1\).

---

Итог

№155:
3) \(5\); 4) \(-1\).

№156:

1. \(49\); 2) \(5\); 3) \(1\); 4) \(-3\) и \(1\).

Проверяю именно отброшенные (посторонние) корни подстановкой в исходное уравнение.

№155

1) \(\sqrt{x}-x=-12\)

Кандидаты: \(16\) и \(9\). Подходит \(16\), отбросили \(9\).

При \(x=9\): \[ \sqrt9-9=3-9=-6. \] А должно быть \(-12\). Значит, \[ -6\ne -12, \] поэтому \(x=9\) — посторонний корень.

---

2) \(x+\sqrt{x}=2(x-1)\)

Кандидаты: \(4\) и \(1\). Подходит \(4\), отбросили \(1\).

При \(x=1\): \[ 1+\sqrt1=1+1=2, \] \[ 2(1-1)=2\cdot0=0. \] Получаем \(2\ne0\), значит \(x=1\) — посторонний корень.

---

3) \(\sqrt{x-1}=x-3\)

Кандидаты: \(5\) и \(2\). Подходит \(5\), отбросили \(2\).

При \(x=2\): \[ \sqrt{2-1}=\sqrt1=1, \] \[ 2-3=-1. \] Получаем \(1\ne -1\), значит \(x=2\) — посторонний корень.

---

4) \(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\)

Кандидаты: \(-1\) и \(\frac52\). Подходит \(-1\), отбросили \(\frac52\).

При \(x=\frac52\): \[ 6+\frac52-\left(\frac52\right)^2 =6+\frac52-\frac{25}{4} =\frac{24+10-25}{4} =\frac94. \] Тогда \[ \sqrt{6+\frac52-\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac94}=\frac32. \] Правая часть: \[ 1-\frac52=-\frac32. \] Получаем \[ \frac32\ne-\frac32. \] Значит \(x=\frac52\) — посторонний корень.

---

№156

1) \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\)

Кандидаты: \(49\) и \(25\). Подходит \(49\), отбросили \(25\).

При \(x=25\): \[ \sqrt{2\cdot25-34}=\sqrt{50-34}=\sqrt{16}=4, \] правая часть: \[ 1+\sqrt{25}=1+5=6. \] Получаем \[ 4\ne6. \] Значит \(x=25\) — посторонний корень.

---

2) \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\)

Кандидаты: \(5\) и \(\frac{125}{9}\). Подходит \(5\), отбросили \(\frac{125}{9}\).

При \(x=\frac{125}{9}\): \[ \sqrt{5\cdot\frac{125}{9}} =\sqrt{\frac{625}{9}} =\frac{25}{3}, \] \[ \sqrt{14-\frac{125}{9}} =\sqrt{\frac{126-125}{9}} =\sqrt{\frac19} =\frac13. \] Сумма: \[ \frac{25}{3}+\frac13=\frac{26}{3}. \] А должно быть \(8\). Так как \[ \frac{26}{3}=8\frac23\ne8, \] то \(x=\frac{125}{9}\) — посторонний корень.

---

3) \(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\)

После возведения в квадрат получилось линейное уравнение: \[ 36x=36,\qquad x=1. \] Других кандидатов не появилось. Посторонних корней нет.

---

4) \(\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1\)

Получились два корня: \[ x=-3,\qquad x=1. \] Оба уже проверены и оба подходят: \[ x=1:\quad 1-0=1, \] \[ x=-3:\quad \sqrt9-\sqrt4=3-2=1. \] Посторонних корней нет.

---

Итог: отброшенные корни —
№155: \(9;\ 1;\ 2;\ \frac52\);
№156: \(25;\ \frac{125}{9}\).
При подстановке в исходные уравнения они дают неверное равенство, поэтому в ответ не входят.