Закон всемирного тяготения
Краткий ответ
Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
\[ F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^{2}}, \qquad G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}/\text{кг}^{2} \]
Сила направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел; по третьему закону Ньютона оба тела притягиваются с одинаковыми по модулю силами.
Откуда что берётся
1. Почему произведение масс. Если увеличить в 2 раза массу одного тела, притяжение удвоится; если вдвое увеличить обе массы — сила вырастет вчетверо. Проверка опытом (например, по периодам обращения спутников) даёт именно произведение.
2. Почему квадрат расстояния. Сила «размазывается» по сфере радиуса \(r\), а площадь сферы \(4\pi r^{2}\) растёт как \(r^{2}\). Поэтому на вдвое большем расстоянии сила в 4 раза меньше.
3. Что такое \(G\). Это коэффициент пропорциональности, одинаковый для любых тел во Вселенной (гравитационная постоянная). Он очень мал, поэтому притяжение обычных предметов незаметно.
Как считать (пример)
Два тела по 100 кг на расстоянии 1 м друг от друга:
\[ F = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{100\cdot 100}{1^{2}} = 6{,}67\cdot 10^{-7}\ \text{Н} \]
Это примерно вес пылинки массой \(7\cdot 10^{-8}\) кг — неудивительно, что в быту мы такого не замечаем.
Проверка результата
По размерности: \(\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\cdot\dfrac{\text{кг}^2}{\text{м}^2} = \text{Н}\) — сходится.
По смыслу: при \(r\to\infty\) сила стремится к нулю, при больших массах — растёт. Всё согласуется с формулой.
Полезное следствие. У поверхности Земли \(F = mg\), а также \(F = G\dfrac{Mm}{R^{2}}\). Масса \(m\) сокра## Основные формулы закона тяготения
1. Сила притяжения двух тел
\[ F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^{2}} \]
\(G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\), \(r\) — расстояние между центрами тел (для шаров — между центрами).
2. Ускорение свободного падения у поверхности планеты
\[ g = \frac{GM}{R^{2}} \quad\Rightarrow\quad F_{\text{тяж}} = mg \]
\(M\) — масса планеты, \(R\) — её радиус. На высоте \(h\):
\[ g_h = \frac{GM}{(R+h)^{2}} \]
3. Первая космическая скорость (круговая орбита у поверхности)
\[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR} \approx 7{,}9\ \text{км/с} \]
4. Скорость на круговой орбите радиуса \(r\)
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
5. Период обращения спутника
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}} \]
6. Потенциальная энергия тяготения
\[ E_p = -\,\frac{Gm_1 m_2}{r} \]
(ноль выбирается на бесконечности; знак «минус» — тела связаны).
7. Третий закон Кеплера (для двух тел, обращающихся вокруг одного центра)
\[ \frac{T_1^{2}}{a_1^{3}} = \frac{T_2^{2}}{a_2^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{GM} \]
\(a\) — большая полуось орбиты.
8. Связь силы и ускорения (второй закон Ньютона для каждого тела)
\[ F = m_1 a_1 = m_2 a_2 \]
При этом \(a_1 = \dfrac{Gm_2}{r^{2}}\), \(a_2 = \dfrac{Gm_1}{r^{2}}\) — ускорения обратно пропорциональны массам: лёгкое тело «разгоняется» сильнее.
Как выбрать нужную
- Спрашивают силу притяжения → формула 1.
- Падение, вес, \(g\) на высоте → формула 2.
- Спутник, орбита, космические скорости → формулы 3–5.
- Энергия, работа по разведению тел → формула 6.
- Сравнение орбит двух планет → формула 7.
Проверка на примере
Спутник на высоте \(h = R\) над Землёй (\(r = 2R\)):
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{2R}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}} \approx 5{,}6\ \text{км/с} \]
Период: \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{8R^{3}}{GM}} \approx 4\) ч — правдоподобно для низкой орбиты (у поверхности около 1,4 ч). Размерности и порядок величины сходятся.
Обсуждение
7 сообщенийФормулы
И примеры с задачами
1. Формулы (краткий справочник)
| Что ищем | Формула |
|---|---|
| Сила притяжения | \[ F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^{2}} \] |
| \(G\) | \[ G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2 \] |
| Ускорение у поверхности планеты | \[ g = \frac{GM}{R^{2}} = \frac{4}{3}\pi G\rho R \] |
| Ускорение на высоте \(h\) | \[ g_h = \frac{GM}{(R+h)^{2}} = g\,\frac{R^{2}}{(R+h)^{2}} \] |
| Первая космическая скорость | \[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR} \] |
| Скорость на орбите радиуса \(r\) | \[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \] |
| Период обращения | \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}} \] |
| Масса планеты по спутнику | \[ M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}} \] |
| Средняя плотность планеты | \[ \rho = \frac{3g}{4\pi GR} \] |
| Потенциальная энергия | \[ E_p = -\frac{Gm_1m_2}{r} \] |
Ключевая идея: сила \(\sim \dfrac{m_1m_2}{r^{2}}\), а ускорение каждого тела \(a = \dfrac{F}{m}\) — поэтому у лёгкого тела ускорение больше.
2. Примеры задач с решением
Задача 1. Прямое применение формулы
Два корабля массами 50 т и 80 т стоят на расстоянии 200 м. Найти силу притяжения.
Дано: \(m_1 = 5\cdot10^{4}\) кг, \(m_2 = 8\cdot10^{4}\) кг, \(r = 200\) м.
\[ F = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5\cdot10^{4}\cdot 8\cdot10^{4}}{200^{2}} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{4\cdot10^{9}}{4\cdot10^{4}} = 6{,}67\cdot10^{-6}\ \text{Н} \]
Ответ: \(F \approx 6{,}7\) мкН — сила крошечная, поэтому в быту тяготение между предметами незаметно.
Задача 2. Сила на высоте
На какой высоте над Землёй ускорение свободного падения равно половине \(g\)? Радиус Земли \(R = 6400\) км.
\[ \frac{g_h}{g} = \frac{R^{2}}{(R+h)^{2}} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; R+h = R\sqrt{2} \]
\[ h = R(\sqrt{2}-1) \approx 6400\cdot 0{,}414 \approx 2650\ \text{км} \]
Ответ: \(h \approx 2{,}65\cdot10^{3}\) км.
Проверка: на такой высоте \(r\) в \(\sqrt2\) раза больше \(R\), значит сила в 2 раза меньше — сходится.
Задача 3. Масса Земли
Зная \(g = 9{,}8\) м/с² и \(R = 6{,}4\cdot10^{6}\) м, найти массу Земли.
Из \(g = \dfrac{GM}{R^{2}}\):
\[ M = \frac{gR^{2}}{G} = \frac{9{,}8\cdot(6{,}4\cdot10^{6})^{2}}{6{,}67\cdot10^{-11}} = \frac{4{,}01\cdot10^{14}}{6{,}67\cdot10^{-11}} \approx 6{,}0\cdot10^{24}\ \text{кг} \]
Ответ: \(M \approx 6\cdot10^{24}\) кг — табличное значение, значит расчёт верен.
Задача 4. Первая космическая скорость для Луны
\(M_Л = 7{,}35\cdot10^{22}\) кг, \(R_Л = 1{,}74\cdot10^{6}\) м.
\[ v_1 = \sqrt{\frac{GM_Л}{R_Л}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot10^{22}}{1{,}74\cdot10^{6}}} = \sqrt{2{,}82\cdot10^{6}} \approx 1{,}68\cdot10^{3}\ \text{м/с} \]
Ответ: \(v_1 \approx 1{,}7\) км/с (у Земли 7,9 км/с — Луна легче, поэтому нужно меньше).
Задача 5. Спутник на высоте 600 км
Найти скорость и период. \(R = 6400\) км, значит \(r = 7000\) км \(= 7\cdot10^{6}\) м.
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot10^{14}}{7\cdot10^{6}}} \approx 7{,}5\cdot10^{3}\ \text{м/с} \]
\[ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\cdot3{,}14\cdot 7\cdot10^{6}}{7{,}5\cdot10^{3}} \approx 5{,}8\cdot10^{3}\ \text{с} \approx 97\ \text{мин} \]
Ответ: \(v \approx 7{,}5\) км/с, \(T \approx 1{,}6\) ч — реальный период такого спутника, всё сходится.
Задача 6. Ускорения двух разных тел
Два шара массами \(m\) и \(2m\) находятся на расстоянии \(r\). Сравнить их ускорения.
\[ a_1 = \frac{G\cdot 2m}{r^{2}}, \qquad a_2 = \frac{Gm}{r^{2}} \]
Ответ: \(a_1 = 2a_2\). Силы по модулю равны (третий закон Ньютона), но лёгкое тело получает вдвое большее ускорение.
Задача 7. Масса Земли по Луне (проверка через Кеплера)
\(T = 27{,}3\) сут \(= 2{,}36\cdot10^{6}\) с, \(r = 3{,}84\cdot10^{8}\) м.
\[ M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}} = \frac{39{,}5\cdot 5{,}66\cdot10^{25}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}57\cdot10^{12}} \approx 6{,}0\cdot10^{24}\ \text{кг} \]
Ответ: \(M \approx 6\cdot10^{24}\) кг — совпало с задачей 3, хотя путь решения другой. Хорошая самопроверка.
3. Мини-алгоритм решения
- Запиши \(F = G\dfrac{m_1m_2}{r^{2}}\) и проверь, все ли массы в кг, а расстояния в м (км → \(\cdot10^{3}\)).
- Если речь о планете — часто удобнее сразу перейти к \(g = \dfrac{GM}{R^{2}}\), это то же самое.
- Расстояние всегда между центрами тел: для спутника \(r = R + h\), а не \(h\).
- Сравнения «во сколько раз» делай через отношение: \(\dfrac{F_1}{F_2} = \left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^{2}\) — \(G\) и массы сокращаются.
- Проверь размерность и порядок величины: массы планет \(\sim10^{24}\) кг, \(v\) у Земли \(\sim8\) км/с.
Хочешь — дам 5 задач для самостоятельной тренировки с ответами для самопроверки.
Спасибо
Пожалуйста! Рад, что помог разобраться. Если понадобится проверить решение или разобрать похожую задачу — пиши.
Реши пожалуйста задачу упражнение 16
Упражнение 16 — решения
Во всех задачах, где не сказано иначе, берём \(g = 10\ \text{м/с}^2\). Главная формула у поверхности Земли — \(F = mg\), а в общем случае \(F = G\dfrac{mM}{r^{2}}\), где \(r\) — расстояние от центра Земли.
1. Сила тяжести для разных масс
\[ F = mg \]
| \(m\) | В СИ | \(F = mg\) |
|---|---|---|
| 2,5 кг | 2,5 кг | \(25\ \text{Н}\) |
| 600 г | 0,6 кг | \(6\ \text{Н}\) |
| 1,2 т | 1200 кг | \(12\,000\ \text{Н} = 12\ \text{кН}\) |
| 50 т | 50 000 кг | \(500\,000\ \text{Н} = 500\ \text{кН}\) |
Важно: граммы и тонны обязательно переводим в килограммы, иначе ответ будет завышен в 1000 раз.
2. Человек массой 64 кг
\[ F = mg = 64\cdot10 = 640\ \text{Н} \]
Притягивается ли Земля к человеку? Да. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю, поэтому Земля притягивается к человеку с той же силой \(640\ \text{Н}\).
Почему это незаметно: ускорение Земли
\[ a = \frac{F}{M_З} = \frac{640}{6\cdot10^{24}} \approx 1\cdot10^{-22}\ \text{м/с}^2 \]
— практически ноль, потому что масса Земли огромна.
3. Масса первого спутника
Здесь дана сила тяжести \(819{,}3\ \text{Н}\), а \(g\) берём табличное \(9{,}8\ \text{м/с}^2\):
\[ m = \frac{F}{g} = \frac{819{,}3}{9{,}8} \approx 83{,}6\ \text{кг} \]
Ответ: \(m \approx 83{,}6\) кг (это и есть историческая масса первого спутника).
Проверка: \(83{,}6\cdot9{,}8 \approx 819\) Н — сходится.
4. Ракета на высоте 5000 км — можно ли брать \(g = 9{,}8\)?
Нет, нельзя. Расстояние от центра Земли:
\[ r = R + h = 6400 + 5000 = 11\,400\ \text{км} \]
Ускорение свободного падения падает как \(1/r^{2}\):
\[ \frac{g'}{g} = \left(\frac{R}{r}\right)^{2} = \left(\frac{6400}{11\,400}\right)^{2} \approx 0{,}315 \]
\[ g' \approx 9{,}8\cdot0{,}315 \approx 3{,}1\ \text{м/с}^2 \]
Ответ: нельзя. На такой высоте \(g\) примерно в 3 раза меньше, чем у поверхности, поэтому формула \(F = mg\) с постоянным \(g\) даёт ошибку в 3 раза. Нужно считать
\[ F = G\frac{mM_З}{(R+h)^{2}} \]
Формулой \(F = mg\) можно пользоваться только при \(h \ll R\) (до нескольких десятков километров).
5. Парящий ястреб
Сила тяжести действует — она никуда не исчезает, пока есть масса и Земля. Ястреб держится на высоте потому, что сила тяжести уравновешена подъёмной силой: воздух давит на крылья, и их суммарная сила направлена вверх и равна \(mg\). Ястреб не «висит без сил», а находится в равновесии.
Если сложит крылья — подъёмная сила исчезнет, останется только сила тяжести, и ястреб начнёт падать с ускорением, близким к \(g\) (немного меньше из-за сопротивления воздуха).
6*. На каком расстоянии сила тяжести ракеты меньше в 4 и в 9 раз
Перед стартом ракета у поверхности, \(r_0 = R\). Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра:
\[ \frac{F_0}{F} = \left(\frac{r}{R}\right)^{2} \]
В 4 раза меньше:
\[ \left(\frac{r}{R}\right)^{2} = 4 \;\Rightarrow\; r = 2R \;\Rightarrow\; h = r - R = R \]
\[ h_1 = 6400\ \text{км} \]
В 9 раз меньше:
\[ r = 3R \;\Rightarrow\; h = 2R \]
\[ h_2 = 12\,800\ \text{км} \]
Ответ: 6400 км и 12 800 км от поверхности Земли.
Что здесь главное запомнить
- Вблизи поверхности \(F = mg\), и это лишь частный случай закона тяготения.
- В общем случае \(F = G\dfrac{m_1m_2}{r^{2}}\), причём \(r\) — всегда от центра планеты, то есть \(r = R + h\).
- «Во сколько раз» удобнее считать через отношение: \(\dfrac{F_0}{F} = \left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}\) — масса и \(G\) сокращаются.
Если нужно, разберу подробнее любую из задач или дам похожую для тренировки.
