2⁶ · 6¹⁸ / (2²⁵ · 9⁹)

Ответ: \(\dfrac{1}{2}\)

Как это устроено. Все множители можно свести к простым основаниям \(2\) и \(3\) — тогда дробь превращается в произведение двух степеней, и остаётся только вычесть показатели.

Ключевые шаги

1. Нужны два правила: \((ab)^n=a^n b^n\) и \((a^m)^n=a^{mn}\).
2. Разложим составные основания: \(6=2\cdot3\), \(9=3^2\). \[6^{18}=(2\cdot3)^{18}=2^{18}\cdot3^{18},\qquad 9^{9}=(3^{2})^{9}=3^{18}.\]
3. Собираем числитель и знаменатель: \[2^{6}\cdot6^{18}=2^{6}\cdot2^{18}\cdot3^{18}=2^{24}\cdot3^{18},\] \[2^{25}\cdot9^{9}=2^{25}\cdot3^{18}.\]
4. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(a^m:a^n=a^{m-n}\). \[\frac{2^{24}\cdot3^{18}}{2^{25}\cdot3^{18}}=2^{24-25}\cdot3^{18-18}=2^{-1}\cdot3^{0}=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}.\]

Проверка. Умножим ответ обратно на знаменатель: \[\frac{1}{2}\cdot2^{25}\cdot3^{18}=2^{24}\cdot3^{18}=2^{6}\cdot2^{18}\cdot3^{18}=2^{6}\cdot6^{18}\] — получили исходный числитель, значит сокращение выполнено верно. Заодно видно, почему ответ «красивый»: показатели \(3\) в числителе и знаменателе совпали (\(18\) и \(18\)), а по двойке числитель оказался ровно на одну степень меньше.

Главная идея для похожих заданий: не считай огромные степени — приводи всё к простым основаниям и работай только с показателями.