3. Решите уравнение: а) 3x³ − x² + 18x − 6 = 0; б) 2x⁴ − 18x² = 5x³ − 45x.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите уравнение: а) \(3x^{3} - x^{2} + 18x - 6 = 0\); б) \(2x^{4} - 18x^{2} = 5x^{3} - 45x\).
Краткий ответ
а) \(x=\frac{1}{3}\) — в действительных числах.
(Если нужны комплексные корни, то ещё \(x=\pm i\sqrt{6}\).)
б) \[ x=-3;\quad 0;\quad \frac{5}{2};\quad 3. \]
Как решать
Основной приём — разложить уравнение на множители. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
а) \(3x^3-x^2+18x-6=0\)
Группируем слагаемые:
\[ 3x^3-x^2+18x-6=(3x^3-x^2)+(18x-6) \]
Выносим общие множители:
\[ =x^2(3x-1)+6(3x-1)=(3x-1)(x^2+6). \]
Получаем:
\[ (3x-1)(x^2+6)=0. \]
Значит:
\[ 3x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2+6=0. \]
Отсюда \(x=\frac{1}{3}\). Второе уравнение \(x^2=-6\) действительных корней не имеет, потому что \(x^2+6>0\).
Ответ: \(x=\frac{1}{3}\).
б) \(2x^4-18x^2=5x^3-45x\)
Сначала перенесём всё в левую часть:
\[ 2x^4-5x^3-18x^2+45x=0. \]
Вынесем \(x\). Не делим на \(x\), иначе потеряли бы корень \(x=0\):
\[ x(2x^3-5x^2-18x+45)=0. \]
Теперь группируем выражение в скобках:
\[ 2x^3-5x^2-18x+45= x^2(2x-5)-9(2x-5). \]
Получаем общий множитель \(2x-5\):
\[ =(2x-5)(x^2-9)=(2x-5)(x-3)(x+3). \]
Значит:
\[ x(2x-5)(x-3)(x+3)=0. \]
Каждый множитель приравниваем к нулю:
\[ x=0,\qquad 2x-5=0,\qquad x-3=0,\qquad x+3=0. \]
Отсюда:
\[ x=0,\quad x=\frac{5}{2},\quad x=3,\quad x=-3. \]
Проверка: раскрытие скобок в \(x(2x-5)(x^2-9)\) возвращает \(2x^4-5x^3-18x^2+45x\), то есть исходное уравнение после переноса.
Ответ: \(-3;\ 0;\ \frac{5}{2};\ 3\).
Обсуждение
2 сообщенияОбьясни тему
Тема: решение уравнений высших степеней разложением на множители. Обычно здесь используют вынесение общего множителя и способ группировки.
Главная идея
Если произведение нескольких выражений равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю:
\[ A\cdot B\cdot C=0 \quad \Longrightarrow \quad A=0 \quad \text{или} \quad B=0 \quad \text{или} \quad C=0. \]
Поэтому уравнение стараются переписать в виде «произведение равно нулю», а затем решают несколько более простых уравнений.
Порядок действий
- Перенести всё в одну сторону, чтобы справа получился нуль.
- Разложить выражение на множители:
- вынести общий множитель;
- сгруппировать слагаемые;
- применить формулы сокращённого умножения, например \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
- Приравнять каждый множитель к нулю.
- Решить получившиеся простые уравнения и записать все корни.
- По возможности сделать проверку.
Пример на главный принцип
\[ x^3-4x=0. \]
Вынесем \(x\):
\[ x(x^2-4)=0. \]
Разложим разность квадратов:
\[ x(x-2)(x+2)=0. \]
Значит:
\[ x=0,\qquad x-2=0,\qquad x+2=0. \]
Получаем:
\[ x=0;\quad x=2;\quad x=-2. \]
Как работает группировка
Слагаемые объединяют в пары и выносят общий множитель из каждой пары. Например:
\[ 3x^3-x^2+18x-6=0. \]
Группируем:
\[ (3x^3-x^2)+(18x-6)=0. \]
Выносим общие множители:
\[ x^2(3x-1)+6(3x-1)=0. \]
Теперь появился общий множитель \((3x-1)\):
\[ (3x-1)(x^2+6)=0. \]
Отсюда:
\[ 3x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2+6=0. \]
Первое даёт \(x=\frac{1}{3}\). Второе действительных корней не имеет, потому что \(x^2+6>0\) при любом действительном \(x\).
Важные моменты
- Нельзя просто делить уравнение на \(x\), если \(x\) есть во всех слагаемых: можно потерять корень \(x=0\). Лучше вынести \(x\) как множитель.
- Если после разложения получилось \(x^2+6=0\), то в действительных числах корней нет: квадрат не бывает отрицательным.
- Уравнение четвёртой степени может иметь до четырёх действительных корней, но некоторых может не быть или они могут повторяться.
- После разложения корни находятся из совсем простых уравнений вида \(x-a=0\) или \(2x-5=0\).
Коротко: приведи уравнение к виду \(P(x)=0\), разложи \(P(x)\) на множители и по очереди приравняй каждый множитель к нулю.
