Объясни свойства я не понимаю

Question

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: координатная плоскость; ось $x$ с делениями от $-8$ до $9$, ось $y$ с делениями от $1$ до $9$; парабола $y=x^2$ с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх; есть подпись «парабола»; справа вверху — запись $y=x^2$; на графике отмечены точки по обе стороны от оси $Oy$.]

Свойства функции $y=x^2$

Область определения функции $D(f)$: $x$ — любые числа.
Область значения функции $E(f)$: все значения $y \ge 0$
Если $x=0$ то $y=0$. — график функции проходит через начало координат.
Если $x \ne 0$ то $y>0$ — все точки графика функции кроме точки $(0; 0)$, расположены выше оси $X$. (1-я четверть)
Противоположным значениям $x$ соответствуют одни и те же значения $y$. $(-x)^2=x^2$ при любом $x$,

Answer

Свойства функции — это ответы на вопросы: какие $x$ можно подставлять, какие $y$ получаются, где находится график и есть ли у него симметрия. Для $y=x^2$ график — парабола с вершиной в $(0;0)$ и ветвями вверх.

Коротко:

$D(f)=(-\infty;+\infty)$ — $x$ может быть любым;

$E(f)=[0;+\infty)$ — $y\ge0$;

$f(0)=0$;

при $x\ne0$ выполняется $y>0$;

$(-x)^2=x^2$, поэтому график симметричен относительно оси $Oy$.

Разбор по пунктам.

1. Область определения $D(f)$. В формулу $y=x^2$ можно подставить любое число: $2^2=4$, $(-2)^2=4$, $0^2=0$. Поэтому $D(f)=(-\infty;+\infty)$.

2. Область значений $E(f)$. Квадрат не бывает отрицательным: $x^2\ge0$. При $x=0$ получается $0$, а при больших $|x|$ значение $y$ становится сколь угодно большим. Значит, $E(f)=[0;+\infty)$, то есть $y\ge0$.

3. Начало координат. При $x=0$: $y=0^2=0$. Точка $(0;0)$ лежит на графике; это вершина параболы и её самая низкая точка.

4. Остальные точки выше оси $Ox$. Если $x\ne0$, то $x^2>0$. Поэтому все точки графика, кроме $(0;0)$, находятся выше оси $Ox$. Справа от оси $Oy$ они попадают в I четверть, слева — во II. В тетради указана «1-я четверть», но это неточно: отрицательные $x$ дают точки во II четверти.

5. Симметрия. $(-x)^2=(-x)(-x)=x^2$. Например, $x=3$ и $x=-3$ дают $y=9$: точки $(3;9)$ и $(-3;9)$ расположены на одной высоте по разные стороны от оси $Oy$. Поэтому ось $Oy$ — ось симметрии, а функция $y=x^2$ — чётная: $f(-x)=f(x)$.

Проверка по таблице:

$x$ |
$-3$ |
$-2$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |

$y$ |
$9$ |
$4$ |
$1$ |
$0$ |
$1$ |
$4$ |
$9$ |

По таблице видно: $y$ никогда не отрицателен; значения повторяются слева и справа от нуля; наименьшее значение $y=0$ при $x=0$, наибольшего нет.

Дополнительно: на $(-\infty;0]$ функция убывает, на $[0;+\infty)$ возрастает. В похожем задании смотри на знак перед $x^2$: если он положительный, ветви идут вверх и $y\ge0$; если отрицательный — вниз и $y\le0$.