221, 224 сделать
Сверь числа и знаки с фото.
- Человек, находясь на Земле, притягивается к ней силой 750 Н. С какой силой он будет притягиваться к планете, находясь на её поверхности, если радиус планеты меньше радиуса Земли в 4 раза, а масса меньше массы Земли в 80 раз?
- Во сколько раз уменьшится сила тяготения между двумя одинаковыми шарами, если вначале шары соприкасаются друг с другом, а затем один из шаров отодвинули на расстояние, равное диаметру шаров?
Кратко
- 221: \(F_{\mathrm{п}} = 150\) Н.
- 224: сила тяготения уменьшится в 4 раза.
221. Как получить ответ
По закону всемирного тяготения: \[ F=G\frac{Mm}{R^2}. \]
Для Земли: \[ F_{\mathrm{З}}=G\frac{M_{\mathrm{З}}m}{R_{\mathrm{З}}^2}=750\ \mathrm{Н}. \]
У планеты: \[ M_{\mathrm{п}}=\frac{M_{\mathrm{З}}}{80},\qquad R_{\mathrm{п}}=\frac{R_{\mathrm{З}}}{4}. \]
Тогда: \[ F_{\mathrm{п}} =G\frac{(M_{\mathrm{З}}/80)m}{(R_{\mathrm{З}}/4)^2} =G\frac{M_{\mathrm{З}}m}{R_{\mathrm{З}}^2}\cdot \frac{1/80}{1/16} =F_{\mathrm{З}}\cdot\frac{16}{80} =F_{\mathrm{З}}\cdot\frac{1}{5}. \]
\[ F_{\mathrm{п}}=750\cdot\frac{1}{5}=150\ \mathrm{Н}. \]
Масса человека \(m\) сокращается, поэтому для ответа она не нужна.
224. Как получить ответ
Пусть диаметр каждого шара \(D\), радиус \(r=D/2\). В законе тяготения \(R\) — расстояние между центрами шаров.
- Когда шары соприкасаются: \[ R_1=2r=D. \]
- После того как один шар отодвинули на расстояние \(D\): \[ R_2=D+D=2D. \]
Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: \[ \frac{F_1}{F_2} =\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 =\left(\frac{2D}{D}\right)^2 =4. \]
Значит, \(F_2=F_1/4\): сила уменьшится в 4 раза.
Проверка
В 221 отношение \[ \frac{F_{\mathrm{п}}}{F_{\mathrm{З}}} =\frac{1/80}{(1/4)^2} =\frac{1}{5}, \] то есть 150 Н действительно в 5 раз меньше 750 Н.
В 224 расстояние между центрами выросло вдвое, поэтому сила упала в \(2^2=4\) раза.
Обсуждение
2 сообщенияСделать полное решение дано, найти, решение 221, 224
221
Дано: \[ F_{\text{З}}=750\ \text{Н} \] \[ M_{\text{п}}=\frac{M_{\text{З}}}{80} \] \[ R_{\text{п}}=\frac{R_{\text{З}}}{4} \] Масса человека \(m\) остаётся одной и той же.
Найти: \(F_{\text{п}}\) — силу притяжения человека на планете.
Решение:
По закону всемирного тяготения: \[ F=G\frac{Mm}{R^2} \]
На Земле: \[ F_{\text{З}}=G\frac{M_{\text{З}}m}{R_{\text{З}}^2} \]
На планете: \[ F_{\text{п}}=G\frac{M_{\text{п}}m}{R_{\text{п}}^2} \]
Подставим \(\;M_{\text{п}}=\dfrac{M_{\text{З}}}{80}\;\) и \(\;R_{\text{п}}=\dfrac{R_{\text{З}}}{4}\):
\[ F_{\text{п}} =G\frac{\dfrac{M_{\text{З}}}{80}\,m}{\left(\dfrac{R_{\text{З}}}{4}\right)^2} \]
\[ F_{\text{п}} =G\frac{M_{\text{З}}m}{R_{\text{З}}^2}\cdot \frac{\dfrac{1}{80}}{\dfrac{1}{16}} \]
\[ F_{\text{п}} =F_{\text{З}}\cdot\frac{16}{80} =F_{\text{З}}\cdot\frac{1}{5} \]
\[ F_{\text{п}}=750\cdot\frac{1}{5}=150\ \text{Н} \]
Ответ: сила притяжения на планете равна \(\mathbf{150\ \text{Н}}\).
224
Дано:
Два одинаковых шара имеют диаметр \(d\).
Вначале они соприкасаются. Затем один шар отодвигают на расстояние \(d\), то есть на один диаметр.
Расстояние между центрами: \[ r_1=d \] после отодвигания: \[ r_2=d+d=2d \]
Найти: во сколько раз изменится сила тяготения между шарами.
Решение:
Массы шаров одинаковы, обозначим их \(m\). По закону всемирного тяготения: \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]
В первом положении: \[ F_1=G\frac{m^2}{d^2} \]
Во втором положении: \[ F_2=G\frac{m^2}{(2d)^2} =G\frac{m^2}{4d^2} \]
Найдём отношение: \[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{G\dfrac{m^2}{d^2}}{G\dfrac{m^2}{4d^2}} =4 \]
Значит: \[ F_2=\frac{F_1}{4} \]
Ответ: сила тяготения между шарами уменьшится в 4 раза.
