104 Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым.

Краткий ответ

Нужно построить три равнобедренных треугольника, у которых угол при вершине (он лежит против основания) равен соответственно: а) меньше \(90^\circ\) (например, \(60^\circ\)); б) \(90^\circ\); в) больше \(90^\circ\) (например, \(120^\circ\)).

Почему так и как это работает

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(BC\) равны боковые стороны \(AB=AC\), а значит, равны углы при основании: \[ \angle B=\angle C=\frac{180^\circ-\angle A}{2}, \] где \(\angle A\) — как раз угол, лежащий против основания \(BC\).

Отсюда сразу видно три случая:

• \(\angle A<90^\circ\) (острый) \(\Rightarrow \angle B=\angle C>45^\circ\);
• \(\angle A=90^\circ\) (прямой) \(\Rightarrow \angle B=\angle C=45^\circ\);
• \(\angle A>90^\circ\) (тупой) \(\Rightarrow \angle B=\angle C<45^\circ\).

Пошаговое построение (для каждого случая одинаковое, меняется только угол)

1. Отметь точку \(A\) — это вершина, из которой выходят равные стороны.
2. Проведи из \(A\) два луча так, чтобы угол между ними был нужным:
   • а) \(60^\circ\) (транспортиром; или построй равносторонний треугольник циркулем);
   • б) \(90^\circ\) (транспортиром или перпендикуляром, как в задаче 101);
   • в) \(120^\circ\) (транспортиром; или \(180^\circ-60^\circ\), отложив \(60^\circ\) от развёрнутого угла).
3. Циркулем с произвольным раствором отложи на обоих лучах равные отрезки: \(AB=AC\).
4. Соедини точки \(B\) и \(C\) — получился отрезок \(BC\), основание.

Треугольник \(ABC\) равнобедренный по построению (\(AB=AC\)), а угол \(\angle A\) лежит против основания \(BC\) — именно тот, который требовался.

Проверка

Измерь углы при основании транспортиром — должно получиться:

• а) при \(\angle A=60^\circ\): по \(60^\circ\) (равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного);
• б) при \(\angle A=90^\circ\): по \(45^\circ\);
• в) при \(\angle A=120^\circ\): по \(30^\circ\).

Во всех случаях сумма \( \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \), значит, построение верное.

Принцип для похожих заданий: сначала мысленно (или на черновике) найди угол при вершине, затем по формуле вычисли углы при основании — так ты сразу знаешь, острым, прямым или тупым будет треугольник, и можешь себя проверить.