Дз, сделать как на примере на 1 фото
Сверь числа и знаки с фото.
- Найти значение 3 основных тригонометрических функций если \(\sin \alpha = 0{,}8;\ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) \((0{,}8)^2 + \cos^2 \alpha = 1\) \(0{,}64 + \cos^2 \alpha = 1\) \(\cos^2 \alpha = 1 - 0{,}64 = 0{,}36\) \(\cos \alpha = \pm 0{,}6\) \(\cos \alpha = -0{,}6\) \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha};\ \tan \alpha = \frac{-0{,}8}{-0{,}6} = \frac{4}{3}\)
Найти значение 3 основных тригонометрических функций если \(\cos x = \frac{7}{25};\ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\)
Краткий ответ: \[ \sin x=-\frac{24}{25},\qquad \cos x=\frac{7}{25},\qquad \mathrm{tg}\,x=-\frac{24}{7}. \]
Во втором задании дано: \[ \cos x=\frac{7}{25},\qquad \frac{3\pi}{2}<x<2\pi. \]
Как решать — как в примере:
Угол \(x\) находится в IV четверти. В ней: \[ \sin x<0,\qquad \cos x>0,\qquad \mathrm{tg}\,x<0. \]
Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 x+\cos^2 x=1. \] \[ \sin^2 x=1-\left(\frac{7}{25}\right)^2 =1-\frac{49}{625} =\frac{576}{625}. \]
Извлекаем корень: \[ \sin x=\pm\frac{24}{25}. \] Так как в IV четверти синус отрицательный: \[ \sin x=-\frac{24}{25}. \]
Находим тангенс: \[ \mathrm{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} =-\frac{24}{7}. \]
Проверка: \[ \left(-\frac{24}{25}\right)^2+\left(\frac{7}{25}\right)^2 =\frac{576+49}{625}=1. \] Знаки тоже соответствуют IV четверти.
Обсуждение
4 сообщенияДз
Да, я проверил по фото: условие то же, что мы уже разбирали, — \(\cos x=\frac{7}{25}\), \(\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\). Нужно вычислить синус, тангенс и котангенс (как в примере на листе — через \(1+\mathrm{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x}\)).
Ответ: \[ \sin x=-\frac{24}{25},\qquad \mathrm{tg}\,x=-\frac{24}{7},\qquad \mathrm{ctg}\,x=-\frac{7}{24}. \]
Решение по шагам:
Четверть: \(\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\) — это IV четверть, там \(\sin x<0\), \(\mathrm{tg}\,x<0\), \(\mathrm{ctg}\,x<0\).
Находим \(\cos^2 x\): \[ \cos^2 x=\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{49}{625},\qquad \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{625}{49}. \]
По формуле из примера: \[ 1+\mathrm{tg}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}=>\mathrm{tg}^2 x=\frac{625}{49}-1=\frac{576}{49}. \] Так как в IV четверти \(\mathrm{tg}\,x<0\): \[ \mathrm{tg}\,x=-\frac{24}{7}. \]
Синус через тангенс: \[ \sin x=\cos x\cdot\mathrm{tg}\,x=\frac{7}{25}\cdot\left(-\frac{24}{7}\right)=-\frac{24}{25}. \]
Котангенс: \[ \mathrm{ctg}\,x=\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}=-\frac{7}{24}. \]
Проверка: \(\left(-\frac{24}{25}\right)^2+\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{576+49}{625}=1\) — верно, знаки соответствуют IV четверти.
По фото условие: \[ \cos\alpha=\frac{15}{17},\qquad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi. \]
Ответ: \[ \sin\alpha=-\frac{8}{17},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{8}{15},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=-\frac{15}{8}. \]
Решение:
Угол \(\alpha\) находится в IV четверти, поэтому: \[ \sin\alpha<0,\qquad \operatorname{tg}\alpha<0,\qquad \operatorname{ctg}\alpha<0. \]
Находим синус: \[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\left(\frac{15}{17}\right)^2 =1-\frac{225}{289} =\frac{64}{289}. \] Значит, \[ \sin\alpha=\pm\frac{8}{17}. \] В IV четверти синус отрицательный, поэтому: \[ \sin\alpha=-\frac{8}{17}. \]
Находим тангенс: \[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{-\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} =-\frac{8}{15}. \]
Находим котангенс: \[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =-\frac{15}{8}. \]
Проверка: \[ \left(-\frac{8}{17}\right)^2+\left(\frac{15}{17}\right)^2 =\frac{64+225}{289}=1. \] Всё верно.
