Контрольная работа. Векторы, уравнение окружности, задачи ОГЭ. Вариант 3. №1. Даны точки A (-2; -1), B (2; 3) и C (-1; 4).

Ниже — то же решение, но с разбором каждого

Хорошо, разберу каждое задание по шагам — с формулами, пояснением, почему применяется именно этот приём, и проверкой ответа.

---

№1. Векторы

Дано: \(A(-2;-1)\), \(B(2;3)\), \(C(-1;4)\).

а) Координаты \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\)

Координаты вектора по двум точкам считаются как «конец минус начало»: \[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]

Подставляем: \[ \overrightarrow{AB}=(2-(-2);\ 3-(-1))=(4;\ 4), \] \[ \overrightarrow{AC}=(-1-(-2);\ 4-(-1))=(1;\ 5). \]

Проверка: если отложить \(\overrightarrow{AB}\) от \(A\), получим \(A+(4;4)=(2;3)=B\). Верно.

б) Длины векторов

Длина вектора \(\overrightarrow a=(x;y)\): \[ |\overrightarrow a|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

Тогда: \[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2, \] \[ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}. \]

\(\sqrt{26}\) дальше не упрощается: \(26=2\cdot13\), квадратов в разложении нет.

в) Вектор \(\overrightarrow{MK}=3\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}\)

Здесь \(M\) и \(K\) — просто начало и конец вектора, заданного формулой; отдельных координат этих точек в условии нет.

Сначала умножаем каждый вектор на число — число умножается на каждую координату: \[ 3\overrightarrow{AB}=3(4;4)=(12;12), \] \[ 4\overrightarrow{AC}=4(1;5)=(4;20). \]

Затем вычитаем покоординатно: \[ \overrightarrow{MK}=(12;12)-(4;20)=(12-4;\ 12-20)=(8;-8). \]

Проверка: \(3\overrightarrow{AB}=(12;12)\) и \(4\overrightarrow{AC}=(4;20)\); разность первых координат \(12-4=8\), вторых \(12-20=-8\). Всё сходится.

г) Скалярное произведение

Для векторов \(\overrightarrow a=(x_1;y_1)\), \(\overrightarrow b=(x_2;y_2)\): \[ \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=x_1x_2+y_1y_2. \]

Значит: \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot1+4\cdot5=4+20=24. \]

д) Косинус угла между векторами

Формула: \[ \cos\varphi= \frac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b}{|\overrightarrow a|\cdot|\overrightarrow b|}. \]

Подставляем уже найденные значения: \[ \cos\varphi=\frac{24}{4\sqrt2\cdot\sqrt{26}}. \]

Упростим знаменатель: \[ 4\sqrt2\cdot\sqrt{26}=4\sqrt{52}=4\sqrt{4\cdot13}=4\cdot2\sqrt{13}=8\sqrt{13}. \]

Тогда: \[ \cos\varphi=\frac{24}{8\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}. \]

Обычно избавляются от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}. \]

Проверка: \(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\approx0{,}832\), угол примерно \(33{,}7^\circ\) — острый, что правдоподобно для данных векторов.

Ответ: а) \((4;4)\) и \((1;5)\); б) \(4\sqrt2\) и \(\sqrt{26}\); в) \((8;-8)\); г) \(24\); д) \(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\).

---

№2. Коллинеарность и перпендикулярность

Дано: \(\overrightarrow m=(2;-8)\), \(\overrightarrow n=(k;4)\).

а) Векторы коллинеарны

Два вектора коллинеарны, когда их координаты пропорциональны: \[ \frac{x_n}{x_m}=\frac{y_n}{y_m}. \]

Подставляем: \[ \frac{k}{2}=\frac{4}{-8}. \]

Считаем правую часть: \[ \frac{4}{-8}=-\frac12. \]

Значит: \[ \frac{k}{2}=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad k=-1. \]

Проверка: при \(k=-1\) получаем \(\overrightarrow n=(-1;4)\). Замечаем, что \(\overrightarrow n=-\frac12\overrightarrow m\): \[ -\frac12(2;-8)=(-1;4). \] То есть векторы действительно лежат на параллельных прямых — коллинеарны.

б) Векторы перпендикулярны

Условие перпендикулярности — скалярное произведение равно нулю: \[ \overrightarrow m\cdot\overrightarrow n=0. \]

Считаем: \[ 2\cdot k+(-8)\cdot4=0, \] \[ 2k-32=0, \] \[ 2k=32, \] \[ k=16. \]

Проверка: при \(k=16\) вектор \(\overrightarrow n=(16;4)\), скалярное произведение \(2\cdot16+(-8)\cdot4=32-32=0\). Верно.

Ответ: а) \(k=-1\); б) \(k=16\).

---

№3. Уравнение окружности

Общий вид уравнения окружности с центром \(O_1(a;b)\) и радиусом \(R\): \[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. \]

Шаг 1. Подставляем центр

Центр \(A(3;-2)\), значит \(a=3\), \(b=-2\). Осторожно со знаком: в уравнении стоит \((y-b)\), поэтому \[ (y-(-2))^2=(y+2)^2. \]

Получаем заготовку: \[ (x-3)^2+(y+2)^2=R^2. \]

Шаг 2. Находим радиус

Радиус — это расстояние от центра \(A(3;-2)\) до точки окружности \(M(-1;1)\): \[ R=AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}. \]

Подставляем: \[ R=\sqrt{(-1-3)^2+(1-(-2))^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}. \] \[ R=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. \]

Значит: \[ R^2=25. \]

Шаг 3. Записываем ответ

\[ (x-3)^2+(y+2)^2=25. \]

Проверка: подставим точку \(M(-1;1)\): \[ (-1-3)^2+(1+2)^2=(-4)^2+3^2=16+9=25. \] Совпало с правой частью — точка лежит на окружности.

Ответ: \((x-3)^2+(y+2)^2=25\).

---

№4. Касательные и угол

Условие: из точки \(P\) проведены касательные к окружности с центром \(O\); \(A\) и \(B\) — точки касания; угол между касательными \(\angle APB=87^\circ\). Нужно найти \(\angle ABO\).

Шаг 1. Используем свойство касательной

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому: \[ OA\perp PA,\qquad OB\perp PB, \] то есть \[ \angle OAP=90^\circ,\qquad \angle OBP=90^\circ. \]

Шаг 2. Находим центральный угол \(AOB\)

Рассмотрим четырёхугольник \(OAPB\). Сумма его углов равна \(360^\circ\): \[ \angle OAP+\angle APB+\angle PBO+\angle AOB=360^\circ. \]

Подставляем известное: \[ 90^\circ+87^\circ+90^\circ+\angle AOB=360^\circ. \] \[ 267^\circ+\angle AOB=360^\circ, \] \[ \angle AOB=93^\circ. \]

Можно запомнить и короткое правило: угол между касательными и центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в сумме дают \(180^\circ\). Здесь \(87^\circ+93^\circ=180^\circ\).

Шаг 3. Находим угол \(ABO\)

Треугольник \(AOB\) равнобедренный, потому что \(OA=OB\) — радиусы одной окружности. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \[ \angle ABO=\angle BAO. \]

Сумма углов треугольника: \[ \angle ABO+\angle BAO+\angle AOB=180^\circ. \] \[ 2\angle ABO+93^\circ=180^\circ, \] \[ 2\angle ABO=87^\circ, \] \[ \angle ABO=43{,}5^\circ. \]

В градусах и минутах: \[ 0{,}5^\circ=30', \] поэтому \[ \angle ABO=43^\circ30'. \]

Проверка: в треугольнике \(AOB\) углы \(43{,}5^\circ\), \(43{,}5^\circ\) и \(93^\circ\); сумма \(43{,}5+43{,}5+93=180^\circ\). В четырёхугольнике \(OAPB\): \(90+87+90+93=360^\circ\). Всё согласовано.

Ответ: \(43{,}5^\circ\), или \(43^\circ30'\).

---

№5. Пересекающиеся хорды

Условие: хорды \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(E\); \(AE=5\), \(CE=4\), \(BE=8\). Найти \(DE\).

Шаг 1. Применяем теорему о пересекающихся хордах

Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды и другой равны: \[ AE\cdot CE=BE\cdot DE. \]

Смысл: точка пересечения делит каждую хорду на два отрезка, и произведение отрезков одной хорды одинаково для обеих хорд.

Шаг 2. Подставляем данные

\[ 5\cdot4=8\cdot DE. \] \[ 20=8DE. \]

Шаг 3. Находим \(DE\)

\[ DE=\frac{20}{8}=2{,}5. \]

Проверка: \(AE\cdot CE=5\cdot4=20\); \(BE\cdot DE=8\cdot2{,}5=20\). Равенство выполняется.

Ответ: \(DE=2{,}5\).

---

Что здесь главное запомнить

1. Вектор по точкам — всегда «конец минус начало».
2. Длина вектора — корень из суммы квадратов координат.
3. Коллинеарность — координаты пропорциональны; перпендикулярность — скалярное произведение равно нулю.
4. Уравнение окружности — \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), где \((a;b)\) — центр; знаки в скобках противоположны знакам координат центра.
5. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; угол между касательными дополняет центральный угол до \(180^\circ\).
6. Пересекающиеся хорды: \(AE\cdot CE=BE\cdot DE\).

Если нужно, могу на любом из этих типов разобрать похожий пример для тренировки.