1. Вычислите: а) √0,64 − √0,04; б) 3 · √0,16; в) √900 · √100; г) √5⁴ · 7²

Краткие ответы

1. а) \(0{,}6\); б) \(1{,}2\); в) \(300\); г) \(175\).
2. а) \(\frac{5}{8}\); б) \(28\); в) \(6\); г) \(2{,}5\).
3. а) \(x=\pm 13\); б) \(x=\pm 0{,}2\); в) \(x=49\).
4. а) \(16\); б) \(36\); в) \(64\).
5. а) \(x^2\) при \(x\ne0\); б) \(\frac{6b}{a}\) при \(a\ne0,\ b\ne0\).
6. \(1{,}15\cdot10^{-1}\), то есть \(0{,}115\).

Как это получается

1. Корень извлекается по правилу: \(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).

\[ \sqrt{0{,}64}-\sqrt{0{,}04}=0{,}8-0{,}2=0{,}6; \]

\[ 3\sqrt{0{,}16}=3\cdot0{,}4=1{,}2; \]

\[ \sqrt{900}\cdot\sqrt{100}=30\cdot10=300; \]

\[ \sqrt{5^4\cdot7^2}=\sqrt{(5^2)^2\cdot7^2}=5^2\cdot7=175. \]

2. Корень из произведения и из дроби:

\[ \sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}; \]

\[ \sqrt{56}\cdot\sqrt{14} =\sqrt{56\cdot14} =\sqrt{4\cdot14^2} =2\cdot14=28; \]

\[ 2(\sqrt3)^2=2\cdot3=6; \]

\[ 3\sqrt{\frac49}+\sqrt{0{,}25} =3\cdot\frac23+0{,}5 =2+0{,}5=2{,}5. \]

3. Уравнение \(x^2=a\) при \(a>0\) имеет два корня, а \(\sqrt{x}=a\) — один неотрицательный корень.

\[ x^2=169\Rightarrow x=\pm13; \]

\[ x^2-0{,}01=0{,}03 \Rightarrow x^2=0{,}04 \Rightarrow x=\pm0{,}2; \]

\[ \sqrt{x}=7\Rightarrow x=7^2=49. \]

4. Используем свойства степеней:

\[ 4^{11}\cdot4^{-9}=4^{11+(-9)}=4^2=16; \]

\[ 6^5:6^3=6^{5-3}=6^2=36; \]

\[ (2^2)^3=2^{2\cdot3}=2^6=64. \]

5. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при возведении степени в степень — перемножаются:

\[ (x^{-3})^4\cdot x^{14} =x^{-12}\cdot x^{14} =x^{2}; \]

\[ 1{,}5a^2b^{-3}\cdot4a^{-3}b^4 =6a^{2-3}b^{-3+4} =6a^{-1}b =\frac{6b}{a}. \]

6. Сначала перемножаем числовые множители и степени десятки:

\[ (4{,}6\cdot10^4)(2{,}5\cdot10^{-6}) =11{,}5\cdot10^{-2}. \]

В стандартном виде коэффициент должен быть от \(1\) до \(10\), поэтому:

\[ 11{,}5\cdot10^{-2} =1{,}15\cdot10^1\cdot10^{-2} =1{,}15\cdot10^{-1}. \]

Проверка: \(13^2=169\), \(0{,}2^2=0{,}04\), \(7^2=49\), \(1{,}15\cdot10^{-1}=0{,}115\).