Ниже — то же решение, но с полным разбором каждого шага и проверкой.

---

№1. Точки \(A(1;-1)\), \(B(4;3)\), \(C(-1;2)\)

а) Координаты векторов

Правило: из координат конца вычитаем координаты начала, то есть \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\;y_B-y_A)\).

\[ \overrightarrow{AB}=(4-1;\;3-(-1))=(3;\;4) \]

\[ \overrightarrow{AC}=(-1-1;\;2-(-1))=(-2;\;3) \]

б) Длины (модули) векторов

Модуль вектора \((x;y)\) — это \(\sqrt{x^2+y^2}\) (по сути теорема Пифагора):

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \]

\[ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx3{,}61 \]

в) Вектор \(\overrightarrow{MK}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\)

Умножение вектора на число и вычитание выполняются покоординатно. Сначала считаю каждое слагаемое:

\[ 3\overrightarrow{AB}=3\cdot(3;4)=(9;12) \]

\[ -2\overrightarrow{AC}=-2\cdot(-2;3)=(4;-6) \]

Теперь складываю:

\[ \overrightarrow{MK}=(9;12)+(4;-6)=(9+4;\;12-6)=(13;\;6) \]

г) Скалярное произведение

Формула через координаты:

\[ \vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2 \]

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\cdot(-2)+4\cdot3=-6+12=6 \]

д) Угол между векторами

\[ \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|} \]

\[ \cos\varphi=\frac{6}{5\cdot\sqrt{13}}=\frac{6}{5\sqrt{13}} \]

Избавляюсь от иррациональности в знаменателе (умножаю числитель и знаменатель на \(\sqrt{13}\)):

\[ \cos\varphi=\frac{6\sqrt{13}}{5\cdot13}=\frac{6\sqrt{13}}{65}\approx0{,}333 \]

То есть \(\varphi\approx70{,}5^\circ\) — угол острый, что согласуется со знаком косинуса.

Проверка: скалярное произведение можно найти и через длины и угол: \(5\cdot\sqrt{13}\cdot0{,}333\approx5\cdot3{,}606\cdot0{,}333\approx6\) — сходится.

---

№2. \(\vec m=(-2;4)\), \(\vec n=(3;k)\)

а) Векторы коллинеарны

Два признака коллинеарности — выбирай любой.

Способ 1 (пропорция координат). У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

\[ \frac{x_n}{x_m}=\frac{y_n}{y_m}\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{-2}=\frac{k}{4} \]

\[ k=4\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-6 \]

Способ 2 (определитель). Векторы коллинеарны, когда \(x_1y_2-y_1x_2=0\):

\[ (-2)\cdot k-4\cdot3=0 \]

\[ -2k-12=0\quad\Rightarrow\quad k=-6 \]

Ответ: \(k=-6\). При этом \(\vec n=(3;-6)=-1{,}5\,\vec m\) — векторы противоположно направлены.

б) Векторы перпендикулярны

Признак: скалярное произведение равно нулю.

\[ \vec m\cdot\vec n=(-2)\cdot3+4\cdot k=0 \]

\[ -6+4k=0 \]

\[ 4k=6\quad\Rightarrow\quad k=\frac{6}{4}=\frac32=1{,}5 \]

Проверка: \(\vec n=(3;1{,}5)\); \(-2\cdot3+4\cdot1{,}5=-6+6=0\). Верно.

---

№3. Окружность с центром \(A(-3;4)\), проходящая через \(M(1;1)\)

Шаг 1. Общий вид уравнения

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \]

где \((x_0;y_0)\) — центр, \(R\) — радиус. Знак в скобках «переворачивается»: центр \((-3;4)\) даёт \((x+3)^2+(y-4)^2\).

Получаем заготовку:

\[ (x+3)^2+(y-4)^2=R^2 \]

Шаг 2. Находим \(R\)

Так как точка \(M\) лежит на окружности, расстояние от центра до неё и есть радиус. Считаю сразу \(R^2\):

\[ R^2=(1-(-3))^2+(1-4)^2=4^2+(-3)^2=16+9=25 \]

Значит \(R=5\).

Шаг 3. Ответ

\[ (x+3)^2+(y-4)^2=25 \]

Второй вид записи (если нужно раскрыть скобки):

\[ x^2+6x+9+y^2-8y+16=25 \]

\[ x^2+y^2+6x-8y=0 \]

Проверка: подставляю \(M(1;1)\): \(1+1+6-8=0\) ✓. И центр по формулам \(x_0=-\frac{D}{2}=-3\), \(y_0=-\frac{E}{2}=4\) ✓.

---

№4. Угол между касательными \(91^\circ\)

Пусть \(O\) — центр окружности, \(A\) и \(B\) — точки касания, \(T\) — точка пересечения касательных, \(\angle ATB=91^\circ\). Нужен \(\angle ABO\).

Способ 1 (через четырёхугольник)

1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \[ \angle OAT=\angle OBT=90^\circ \]

2. Сумма углов четырёхугольника \(OATB\) равна \(360^\circ\): \[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-91^\circ=89^\circ \]

3. Треугольник \(AOB\) равнобедренный, ведь \(OA=OB=R\). Углы при основании равны: \[ \angle ABO=\frac{180^\circ-\angle AOB}{2}=\frac{180^\circ-89^\circ}{2}=45{,}5^\circ \]

Способ 2 (через треугольник \(ABT\)) — быстрая проверка

Касательные из одной точки равны: \(TA=TB\), значит треугольник \(ABT\) равнобедренный:

\[ \angle TAB=\frac{180^\circ-91^\circ}{2}=44{,}5^\circ \]

Радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(AT\), поэтому:

\[ \angle OAB=90^\circ-44{,}5^\circ=45{,}5^\circ \]

И так как \(\angle ABO=\angle OAB\), снова получаем \(45{,}5^\circ\).

Ответ: \(\angle ABO=45{,}5^\circ\).

Полезно запомнить: угол между двумя касательными и центральный угол между радиусами в сумме дают \(180^\circ\); а угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри него (здесь \(89^\circ:2=44{,}5^\circ\)).

---

№5. Пересекающиеся хорды

Теорема

Если две хорды пересекаются в точке \(P\), то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:

\[ AP\cdot PC=BP\cdot PD \]

Почему так: треугольники, образованные этими хордами, подобны (углы опираются на одну и ту же дугу), и из подобия как раз получается это равенство произведений.

Подстановка

По условию \(PC=3\), \(BP=6\), \(PD=6\). Тогда:

\[ AP\cdot3=6\cdot6 \]

\[ AP\cdot3=36 \]

\[ AP=\frac{36}{3}=12 \]

Проверка: отрезки первой хорды \(12\) и \(3\) дают \(36\); отрезки второй \(6\) и \(6\) тоже дают \(36\). Равенство выполняется.

Ответ: \(AP=12\).

Небольшое замечание по оформлению: главное в этой теореме — множители должны быть отрезками одной хорды и отрезками другой. Если на твоём рисунке хорды подписаны как \(AB\) и \(CD\), равенство запишется так: \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\) — смысл и решение те же.