1. Вычислите: а) √0,64 − √0,04; б) 3 · √0,16; в) √900 · √100 г) √5⁴ · 7²

Кратко

1. а) \(0{,}6\); б) \(1{,}2\); в) \(300\); г) \(175\).
2. а) \(\frac{5}{8}\); б) \(28\); в) \(6\); г) \(2{,}5\).
3. а) \(x=\pm 13\); б) \(x=\pm 0{,}2\); в) \(x=49\).
4. а) \(16\); б) \(36\); в) \(64\).
5. а) \(x^2\); б) \(\frac{6b}{a}\).
6. \(1{,}15\cdot 10^{-1}\).

Почему так

1. Корни. Используем \(\sqrt{a^2}=|a|\), а также \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\).

\[ \sqrt{0{,}64}-\sqrt{0{,}04}=0{,}8-0{,}2=0{,}6 \] \[ 3\sqrt{0{,}16}=3\cdot0{,}4=1{,}2 \] \[ \sqrt{900}\cdot\sqrt{100}=30\cdot10=300 \] \[ \sqrt{5^4\cdot7^2}=\sqrt{(5^2\cdot7)^2}=5^2\cdot7=175 \]

2. Корень из произведения и из дроби вычисляется по частям:

\[ \sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8} \] \[ \sqrt{56}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{56\cdot14}=\sqrt{784}=28 \] \[ 2(\sqrt3)^2=2\cdot3=6 \] \[ 3\sqrt{\frac49}+\sqrt{0{,}25} =3\cdot\frac23+0{,}5=2+0{,}5=2{,}5 \]

3. Если \(x^2=c\), где \(c>0\), то \(x=\pm\sqrt c\). А уравнение \(\sqrt x=7\) даёт только положительный корень:

\[ x^2=169 \quad\Rightarrow\quad x=\pm13 \] \[ x^2-0{,}01=0{,}03 \quad\Rightarrow\quad x^2=0{,}04 \quad\Rightarrow\quad x=\pm0{,}2 \] \[ \sqrt x=7 \quad\Rightarrow\quad x=7^2=49 \]

4. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются:

\[ 4^{11}\cdot4^{-9}=4^{11-9}=4^2=16 \] \[ 6^5:6^3=6^{5-3}=6^2=36 \] \[ (2^2)^3=2^{2\cdot3}=2^6=64 \]

5. Отрицательная степень: \(a^{-n}=\frac1{a^n}\).

\[ (x^{-3})^4\cdot x^{14}=x^{-12}\cdot x^{14}=x^2 \] \[ 1{,}5a^2b^{-3}\cdot4a^{-3}b^4 =6a^{2-3}b^{-3+4} =6a^{-1}b=\frac{6b}{a} \]

6. Стандартный вид числа — это \(a\cdot10^n\), где \(1\le |a|<10\).

\[ (4{,}6\cdot10^4)(2{,}5\cdot10^{-6}) =11{,}5\cdot10^{-2} =0{,}115 =1{,}15\cdot10^{-1} \]

Проверка: \(13^2=169\), \((0{,}2)^2=0{,}04\), \(\sqrt{49}=7\), а \(1{,}15\cdot10^{-1}=0{,}115\).