номер 155 ,156
Сверь числа и знаки с фото.
Решить уравнение (152—161). 155 1) \(\sqrt{x}-x=-12\); 2) \(x+\sqrt{x}=2(x-1)\); 3) \(\sqrt{x-1}=x-3\); 4) \(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\). 156 1) \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\); 3) \(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\); 4) \(\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1\).
Кратко
- № 155: 1) \(16\); 2) \(4\); 3) \(5\); 4) \(-1\).
- № 156: 1) \(49\); 2) \(5\); 3) \(1\); 4) \(-3;\ 1\).
Общий принцип. Сначала находим ОДЗ, затем уединяем корень и возводим обе части в квадрат. После этого обязательно проверяем корни: при возведении в квадрат могут появиться лишние решения.
№ 155
\(\sqrt{x}-x=-12\).
Пусть \(t=\sqrt{x}\ge0\), тогда \(x=t^2\): \[ t-t^2=-12 \Rightarrow t^2-t-12=0. \] Корни \(t=4\) и \(t=-3\). Второй не подходит, значит \(x=16\).\(x+\sqrt{x}=2(x-1)\).
Снова \(t=\sqrt{x}\): \[ t^2+t=2t^2-2 \Rightarrow t^2-t-2=0. \] Отсюда \(t=2\), поэтому \(x=4\).\(\sqrt{x-1}=x-3\).
Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(x\ge3\). Возводим в квадрат: \[ x-1=(x-3)^2 \Rightarrow x^2-7x+10=0. \] Корни \(2\) и \(5\). Корень \(2\) не подходит из-за \(x\ge3\). Ответ: \(5\).\(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\).
Нужно \(6+x-x^2\ge0\) и \(1-x\ge0\), то есть \(x\le1\). После возведения в квадрат: \[ 6+x-x^2=(1-x)^2 \Rightarrow 2x^2-3x-5=0. \] Корни: \(-1\) и \(2{,}5\). Подходит только \(-1\).
№ 156
\(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\).
ОДЗ: \(x\ge17\). Возводим в квадрат: \[ 2x-34=1+2\sqrt{x}+x \Rightarrow x-35=2\sqrt{x}. \] Значит, \(x\ge35\). Ещё раз в квадрат: \[ (x-35)^2=4x \Rightarrow x^2-74x+1225=0. \] Корни \(25\) и \(49\). Подходит только \(49\).\(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\).
ОДЗ: \(0\le x\le14\). \[ \sqrt{5x}=8-\sqrt{14-x}. \] После возведения в квадрат: \[ 5x=64-16\sqrt{14-x}+14-x, \] \[ 16\sqrt{14-x}=78-6x. \] Отсюда \(x\le13\). Возводим в квадрат: \[ 256(14-x)=(78-6x)^2. \] Получаем \(9x^2-170x+625=0\), корни \(5\) и \(\frac{125}{9}\). Второй больше \(13\), поэтому ответ: \(5\).\(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\).
Пусть \(t=\sqrt{3+x}\), тогда \(x=t^2-3\): \[ \sqrt{t^2+12}+t=6. \] \[ \sqrt{t^2+12}=6-t. \] Возводим в квадрат: \[ t^2+12=36-12t+t^2 \Rightarrow t=2. \] Тогда \(x=1\).\(\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1\).
ОДЗ: \(x\le1\). \[ \sqrt{3-2x}=1+\sqrt{1-x}. \] После возведения в квадрат: \[ 3-2x=2-x+2\sqrt{1-x}, \] \[ 1-x=2\sqrt{1-x}. \] Пусть \(y=\sqrt{1-x}\ge0\), тогда \(y^2=2y\), откуда \(y=0\) или \(y=2\). Значит, \(x=1\) или \(x=-3\). Оба корня подходят.
Я проверил найденные корни подстановкой: лишних среди них нет.
