номер 150 и 151

Кратко

150.
а) вершина \((2;3)\), ось симметрии \(x=2\);
б) вершина \(\left(-\frac54;\frac98\right)\), ось симметрии \(x=-\frac54\).

151.
а) \(6{,}75;\ 6{,}75;\ -7\);
б) при \(y=6\): \(x=1\pm\sqrt3\); при \(y=0\): \(x=-2\) и \(x=4\); при \(y=-2\): \(x=1\pm\sqrt{11}\);
в) нули: \(-2\) и \(4\); \(y>0\) при \(x\in(-2;4)\), \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\);
г) возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\), множество значений — \((-\infty;9]\).

---

150

Для параболы \(y=ax^2+bx+c\) вершина находится по формулам:

\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \]

Ось симметрии — прямая \(x=x_0\). Если \(a>0\), ветви направлены вверх; если \(a<0\) — вниз.

а) \(y=x^2-4x+7\)

Здесь \(a=1>0\), значит, ветви вверх.

\[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2, \]

\[ y_0=2^2-4\cdot2+7=4-8+7=3. \]

Вершина: \((2;3)\), ось симметрии: \(x=2\).

Для эскиза можно взять симметричные точки:

\[ (0;7),\ (4;7),\ (1;4),\ (3;4). \]

Дискриминант \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot7=-12<0\), поэтому график не пересекает ось \(Ox\). Вершина — самая низкая точка графика.

б) \(y=-2x^2-5x-2\)

Здесь \(a=-2<0\), ветви вниз.

\[ x_0=-\frac{-5}{2\cdot(-2)}=-\frac54, \]

\[ y_0=-2\cdot\left(-\frac54\right)^2-5\cdot\left(-\frac54\right)-2=\frac98. \]

Вершина:

\[ \left(-\frac54;\frac98\right), \]

ось симметрии:

\[ x=-\frac54. \]

Нули функции:

\[ -2x^2-5x-2=0, \]

\[ 2x^2+5x+2=0, \]

\[ D=25-16=9, \]

\[ x=\frac{-5\pm3}{4}. \]

Значит, \(x=-2\) и \(x=-\frac12\).

Для эскиза: точки \((-2;0)\), \(\left(-\frac12;0\right)\), \((0;-2)\), \((-1;1)\), \(\left(-\frac32;1\right)\). Вершина — самая высокая точка.

---

151

Функция:

\[ y=-x^2+2x+8. \]

Выделим полный квадрат:

\[ y=-(x^2-2x)+8=-(x-1)^2+9. \]

Отсюда видно: вершина параболы — \((1;9)\), ветви вниз, ось симметрии \(x=1\), наибольшее значение \(9\).

Нули:

\[ -(x-1)^2+9=0, \]

\[ (x-1)^2=9, \]

\[ x-1=\pm3, \]

\[ x=-2 \quad \text{или} \quad x=4. \]

а) Значения функции

\[ y(2{,}5)=-(2{,}5-1)^2+9=-2{,}25+9=6{,}75. \]

\[ y(-0{,}5)=-(-0{,}5-1)^2+9=-2{,}25+9=6{,}75. \]

\[ y(-3)=-(-3-1)^2+9=-16+9=-7. \]

Ответ: \(6{,}75;\ 6{,}75;\ -7\).

б) Значения аргумента

При \(y=6\):

\[ -(x-1)^2+9=6, \]

\[ (x-1)^2=3, \]

\[ x=1\pm\sqrt3. \]

При \(y=0\):

\[ x=-2,\quad x=4. \]

При \(y=-2\):

\[ -(x-1)^2+9=-2, \]

\[ (x-1)^2=11, \]

\[ x=1\pm\sqrt{11}. \]

в) Нули и промежутки знакопостоянства

Нули функции:

\[ x=-2,\quad x=4. \]

Так как ветви параболы направлены вниз:

\[ y>0 \quad \text{при } x\in(-2;4), \]

\[ y<0 \quad \text{при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty). \]

г) Возрастание, убывание и множество значений

Вершина находится в точке \(x=1\).

\[ \text{Функция возрастает при } x\in(-\infty;1], \]

\[ \text{убывает при } x\in[1;+\infty). \]

Наибольшее значение функции равно \(9\), поэтому множество значений:

\[ (-\infty;9]. \]