Реши и распиши подробно

Краткий ответ. Принял \(1\) тс \(=9{,}81\) кН; площади участков прочитал как \(5A\), \(A\), \(2{,}5A\). Тогда:

Участок	\(N\), тс	\(A_i\), см²	\(\sigma\), МПа
I, \(0\ldots0{,}6\) м	\(4{,}48\)	\(100\)	\(4{,}39\)
II, \(0{,}6\ldots1{,}9\) м	от \(14{,}48\) до \(15{,}0\)	\(20\)	от \(71{,}0\) до \(73{,}5\)
III, \(1{,}9\ldots2{,}5\) м	\(8{,}0\)	\(50\)	\(15{,}7\)

Все участки растянуты. Полное удлинение: \[ \Delta L\approx 10{,}6\ \text{мм}. \] Перемещения характерных сечений: \(u(0)=0\); \(u(0{,}6)=0{,}264\) мм; \(u(1{,}9)=9{,}66\) мм; \(u(2{,}5)=10{,}6\) мм.

---

1. Что принято по схеме

Стержень защемлён слева, ось \(x\) направляю вправо. Границы участков: \[ x=0;\quad x=a=0{,}6\ \text{м};\quad x=a+b=1{,}9\ \text{м};\quad x=a+b+c=2{,}5\ \text{м}. \] Нагрузки:

• \(F_3=10\) тс — влево в сечении \(x=0{,}6\) м;
• \(q=0{,}4\) тс/м — распределённая нагрузка на участке \(b=1{,}3\) м, направлена влево;
• \(F_2=7\) тс — вправо в сечении \(x=1{,}9\) м;
• \(F_1=8\) тс — вправо на свободном конце.

Полная распределённая нагрузка: \[ Q=qb=0{,}4\cdot1{,}3=0{,}52\ \text{тс}. \]

Положительное продольное усилие \(N\) — растяжение. Для сечения удобно брать сумму всех внешних сил справа от него: вправо — плюс, влево — минус.

---

2. Эпюра продольных сил \(N\)

Участок III: \(1{,}9<x<2{,}5\) м

Правее сечения находится только \(F_1\): \[ N_{III}=F_1=8{,}0\ \text{тс}. \]

Участок II: \(0{,}6<x<1{,}9\) м

Правее сечения расположены \(F_1\), \(F_2\) и часть распределённой нагрузки длиной \(1{,}9-x\): \[ N_{II}(x)=F_1+F_2-q(1{,}9-x). \] \[ N_{II}(x)=8+7-0{,}4(1{,}9-x) =15-0{,}4(1{,}9-x). \] То есть \[ N_{II}(x)=14{,}24+0{,}4x,\quad x\ \text{в метрах}. \] На границах: \[ N_{II}(0{,}6)=14{,}48\ \text{тс},\qquad N_{II}(1{,}9)=15{,}0\ \text{тс}. \] На этом участке эпюра \(N\) — наклонная прямая.

Участок I: \(0<x<0{,}6\) м

Правее сечения находятся все нагрузки: \[ N_I=F_1+F_2-qb-F_3. \] \[ N_I=8+7-0{,}52-10=4{,}48\ \text{тс}. \]

Вид эпюры \(N\)

• \(0\ldots0{,}6\) м: постоянно \(4{,}48\) тс;
• в сечении \(x=0{,}6\) м скачок вверх на \(F_3=10\) тс: \[ 14{,}48-4{,}48=10; \]
• \(0{,}6\ldots1{,}9\) м: прямая от \(14{,}48\) до \(15{,}0\) тс;
• в сечении \(x=1{,}9\) м скачок вниз на \(F_2=7\) тс: \[ 15-8=7; \]
• \(1{,}9\ldots2{,}5\) м: постоянно \(8\) тс.

Проверка. Сумма внешних сил: \[ 8+7-10-0{,}52=4{,}48\ \text{тс} \] вправо. Значит, реакция заделки равна \(4{,}48\) тс влево. Это совпадает с \(N_I\).

---

3. Эпюра нормальных напряжений \(\sigma\)

Площади: \[ A=20\ \text{см}^2, \] \[ A_1=5A=100\ \text{см}^2,\qquad A_2=A=20\ \text{см}^2,\qquad A_3=2{,}5A=50\ \text{см}^2. \] Напряжение: \[ \sigma=\frac{N}{A_i}. \] Использую \(1\ \text{тс/см}^2\approx98{,}1\) МПа.

Участок I

\[ \sigma_I=\frac{4{,}48}{100}=0{,}0448\ \text{тс/см}^2 \approx4{,}39\ \text{МПа}. \]

Участок II

\[ \sigma_{II}(0{,}6)=\frac{14{,}48}{20} =0{,}724\ \text{тс/см}^2 \approx71{,}0\ \text{МПа}, \] \[ \sigma_{II}(1{,}9)=\frac{15{,}0}{20} =0{,}750\ \text{тс/см}^2 \approx73{,}5\ \text{МПа}. \] На участке II напряжения меняются линейно.

Участок III

\[ \sigma_{III}=\frac{8{,}0}{50} =0{,}16\ \text{тс/см}^2 \approx15{,}7\ \text{МПа}. \]

В сечениях \(x=0{,}6\) и \(x=1{,}9\) м на эпюре \(\sigma\) будут скачки: там одновременно меняются \(N\) и площадь.

---

4. Эпюра перемещений

Перемещение сечения: \[ u(x)=\int_0^x\frac{N}{EA}\,dx. \] В заделке: \[ u(0)=0. \] Жёсткость: \[ E=0{,}1\cdot10^5\ \text{МПа}=1{,}0\cdot10^4\ \text{МПа} =1{,}0\cdot10^{10}\ \text{Па}. \]

Удлинение первого участка

\[ \Delta_1=\frac{N_I a}{EA_1}. \] \[ \Delta_1= \frac{4{,}48\cdot9{,}81\cdot10^3\cdot0{,}6} {1{,}0\cdot10^{10}\cdot0{,}01} \approx2{,}64\cdot10^{-4}\ \text{м} =0{,}264\ \text{мм}. \]

Удлинение второго участка

Так как \(N_{II}\) меняется линейно, можно взять среднее значение: \[ N_{II,\text{ср}}=\frac{14{,}48+15{,}0}{2}=14{,}74\ \text{тс}. \] \[ \Delta_2= \frac{14{,}74\cdot9{,}81\cdot10^3\cdot1{,}3} {1{,}0\cdot10^{10}\cdot0{,}002} \approx9{,}40\cdot10^{-3}\ \text{м} =9{,}40\ \text{мм}. \]

Удлинение третьего участка

\[ \Delta_3=\frac{N_{III}c}{EA_3}. \] \[ \Delta_3= \frac{8{,}0\cdot9{,}81\cdot10^3\cdot0{,}6} {1{,}0\cdot10^{10}\cdot0{,}005} \approx9{,}42\cdot10^{-4}\ \text{м} =0{,}942\ \text{мм}. \]

Итоговые перемещения

\[ u(0{,}6)=\Delta_1\approx0{,}264\ \text{мм}, \] \[ u(1{,}9)=\Delta_1+\Delta_2 \approx0{,}264+9{,}40=9{,}66\ \text{мм}, \] \[ u(2{,}5)=\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3 \approx10{,}6\ \text{мм}. \]

Полное удлинение: \[ \boxed{\Delta L\approx10{,}6\ \text{мм}}. \]

Форма эпюры перемещений: на первом и третьем участках — прямые линии; на втором — парабола, поскольку там \(N\) меняется линейно. В сечениях \(0{,}6\) и \(1{,}9\) м перемещение не имеет скачка, меняется только наклон эпюры.

Если на вашей схеме средний участок входит в площадь \(5A\), а не \(A\), то \(\sigma_{II}\approx14{,}2\ldots14{,}7\) МПа, \(\Delta_2\approx1{,}88\) мм, а полное удлинение \(\Delta L\approx3{,}08\) мм.