1. \(x^{4}=(x+12)^{2}\) 2. \(x(x^{2}+2x+1)=2(x+1)\) 3. \((4x-1)^{2}(x+3)=(4x-1)(x+3)\) 4. \((x^{2}-16)^{2}+(x^{2}-2x-24)^{2}=0\) 5. \(x^{3}+5x^{2}-9x-45=0\) 6.…

Краткий ответ

1. \(x=-3;\ 4\)
2. \(x=-2;\ -1;\ 1\)
3. \(x=-3;\ \frac14;\ \frac12\)
4. \(x=-4\)
5. \(x=-5;\ -3;\ 3\)
6. \(x=\frac32\)

Как решать

1)
\[ x^4=(x+12)^2 \] Перенесём всё влево и применим разность квадратов: \[ x^4-(x+12)^2=0, \] \[ \left(x^2-(x+12)\right)\left(x^2+(x+12)\right)=0. \] Получаем: \[ x^2-x-12=0 \] или \[ x^2+x+12=0. \] В первом уравнении корни \(-3\) и \(4\). Во втором дискриминант отрицательный, корней нет.

2)
Заметим, что \(x^2+2x+1=(x+1)^2\): \[ x(x+1)^2=2(x+1). \] Переносим и выносим общий множитель: \[ (x+1)\bigl(x(x+1)-2\bigr)=0, \] \[ (x+1)(x^2+x-2)=0, \] \[ (x+1)(x+2)(x-1)=0. \] Корни: \(-2,\ -1,\ 1\).

3)
Переносим влево и выносим общий множитель: \[ (4x-1)^2(x+3)-(4x-1)(x+3)=0, \] \[ (4x-1)(x+3)\bigl((4x-1)-1\bigr)=0, \] \[ (4x-1)(x+3)(4x-2)=0. \] Отсюда: \[ x=\frac14,\qquad x=-3,\qquad x=\frac12. \]

4)
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: \[ x^2-16=0 \quad\text{и}\quad x^2-2x-24=0. \] Первое даёт \(x=\pm4\), второе: \[ x^2-2x-24=(x-6)(x+4)=0, \] то есть \(x=6\) или \(x=-4\). Общий корень — только \(-4\).

5)
Сгруппируем слагаемые: \[ x^3+5x^2-9x-45=0, \] \[ x^2(x+5)-9(x+5)=0, \] \[ (x+5)(x^2-9)=0. \] Значит: \[ x=-5,\qquad x=-3,\qquad x=3. \]

6)
Сначала ограничение: знаменатель не равен нулю, \[ x^2-1\ne0,\qquad x\ne\pm1. \] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2x^2-5x+3=0. \] \[ D=25-24=1, \] \[ x=\frac{5\pm1}{4}. \] Получаем \(x=1\) или \(x=\frac32\). Но \(x=1\) не подходит из-за знаменателя. Остаётся: \[ x=\frac32. \]