Найти все первообразные для заданных функций:

Краткий ответ

Первообразные:

1. \(F(x)=\dfrac{x^5}{5}-5x+C\)
2. \(F(x)=4\ln|x|+x^3+C\), \(x\ne0\)
3. \(F(x)=\sin x-x^4+C\)
4. \(F(x)=-3\cot x-2e^x+C\), \(\sin x\ne0\)
5. \(F(x)=\dfrac{1}{16}\sin 4x+C\)
6. \(F(x)=\dfrac{(5x+2)^3}{5}+C\)

B1

1. \(\displaystyle \int_{1}^{2}4x^3\,dx=15\)
2. \(\displaystyle \int_{0}^{2}(2+4x)\,dx=12\)

B2

1. \(C=4\), поэтому \(F(x)=2x^3-x^2+4\)
2. \(C=2-\dfrac{\sqrt3}{2}\), поэтому
   \[ F(x)=\sqrt3\sin x+2-\frac{\sqrt3}{2} \]

Как это получается

Нужны основные табличные интегралы: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C, \] \[ \int \cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\cot x+C,\quad \int e^x\,dx=e^x+C. \]

В №5 и №6 удобно учитывать коэффициент при \(x\): \[ \int \cos(4x)\,dx=\frac14\sin(4x)+C. \] Поэтому \[ \int \frac14\cos(4x)\,dx=\frac1{16}\sin(4x)+C. \]

В №6 делаем замену \(t=5x+2\), тогда \(dt=5\,dx\): \[ \int 3(5x+2)^2\,dx =\frac35\int t^2\,dt =\frac{t^3}{5}+C =\frac{(5x+2)^3}{5}+C. \]

В B1 применяем формулу Ньютона — Лейбница.

\[ \int_{1}^{2}4x^3\,dx =\left.x^4\right|_{1}^{2} =16-1=15. \]

\[ \int_{0}^{2}(2+4x)\,dx =\left.(2x+2x^2)\right|_{0}^{2} =4+8=12. \]

В B2 сначала берём общую первообразную, затем подставляем точку \(M\).

1. Для \(y=6x^2-2x\): \[ F(x)=2x^3-x^2+C. \] Точка \(M(1;5)\): \[ 5=2\cdot1^3-1^2+C=2-1+C=1+C, \] откуда \(C=4\).

2. Для \(y=\sqrt3\cos x\): \[ F(x)=\sqrt3\sin x+C. \] Точка \(M\left(\frac{\pi}{6};2\right)\): \[ 2=\sqrt3\sin\frac{\pi}{6}+C =\frac{\sqrt3}{2}+C, \] поэтому \[ C=2-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Проверка: если продифференцировать найденную первообразную, должна получиться исходная функция. Например, \[ \left(\frac{(5x+2)^3}{5}\right)'=3(5x+2)^2. \]