В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M лежит на ребре BB1, причем BM : MB1 = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN : ND = 2 : 3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью

Краткий ответ: а) \(\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{38}}=\dfrac{\sqrt{38}}{19}\);
б) \(\sin\beta=\dfrac{3}{\sqrt{38}}=\dfrac{3\sqrt{38}}{38}\).

Решение

Пусть ребро куба равно \(5\) — так удобно, потому что отношения \(3:2\) и \(2:3\) дают части по \(5\).

Выберем координаты: \[ A(0,0,0),\quad B(5,0,0),\quad D(0,5,0),\quad B_1(5,0,5). \]

Тогда:

• \(M\) лежит на \(BB_1\), \(BM:MB_1=3:2\), значит \(BM=3\), поэтому \[ M(5,0,3). \]
• \(N\) лежит на \(AD\), \(AN:ND=2:3\), значит \(AN=2\), поэтому \[ N(0,2,0). \]

Вектор прямой: \[ \overrightarrow{MN}=N-M=(-5;\,2;\,-3). \] Его длина: \[ MN=\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}. \]

Для угла \(\varphi\) между прямой и плоскостью с нормальным вектором \(\vec n\) работает формула \[ \sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \vec n|}{|\overrightarrow{MN}|\,|\vec n|}. \] Это следует из того, что угол с нормалью дополняет угол с плоскостью до \(90^\circ\).

а) Плоскость \(DD_1C_1C\) имеет нормаль \[ \vec n_1=(0;1;0). \] Тогда \[ \sin\alpha=\frac{|(-5)\cdot0+2\cdot1+(-3)\cdot0|}{\sqrt{38}\cdot1} =\frac{2}{\sqrt{38}}. \]

б) Плоскость \(A_1B_1C_1D_1\) горизонтальна, её нормаль \[ \vec n_2=(0;0;1). \] Поэтому \[ \sin\beta=\frac{|(-5)\cdot0+2\cdot0+(-3)\cdot1|}{\sqrt{38}\cdot1} =\frac{3}{\sqrt{38}}. \]

Проверка: обе проекции на нормали равны \(2\) и \(3\), а полная длина \(MN\) равна \(\sqrt{38}\). Значения синуса меньше \(1\) — всё согласовано.