В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M лежит на ребре BB1, причем BM:MB1=3:2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN:ND=2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани

Краткий ответ

• а) \(\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{38}}=\dfrac{\sqrt{38}}{19}\);
• б) \(\sin\beta=\dfrac{3}{\sqrt{38}}=\dfrac{3\sqrt{38}}{38}\).

Как решать

Примем ребро куба равным \(5\) — так удобно, потому что \(3+2=5\). Введём координаты:

\[ A(0;0;0),\ B(5;0;0),\ C(5;5;0),\ D(0;5;0), \] \[ A_1(0;0;5),\ B_1(5;0;5),\ C_1(5;5;5),\ D_1(0;5;5). \]

Тогда:

• \(BM:MB_1=3:2\), значит \(M(5;0;3)\);
• \(AN:ND=2:3\), значит \(N(0;2;0)\).

Направляющий вектор прямой \(MN\):

\[ \overrightarrow{MN}=(-5;2;-3), \]

его длина:

\[ |\overrightarrow{MN}|=\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}. \]

Угол между прямой и плоскостью дополняет до \(90^\circ\) угол между прямой и нормалью к плоскости, поэтому

\[ \sin\varphi=\frac{|\vec v\cdot \vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}. \]

а) Плоскость \(DD_1C_1C\) имеет нормаль \(\vec n=(0;1;0)\):

\[ \sin\alpha=\frac{|2|}{\sqrt{38}}=\frac{2}{\sqrt{38}}. \]

б) Плоскость \(A_1B_1C_1D_1\) имеет нормаль \(\vec n=(0;0;1)\):

\[ \sin\beta=\frac{|-3|}{\sqrt{38}}=\frac{3}{\sqrt{38}}. \]

Оба значения меньше \(1\), что и должно быть для синуса угла.