1.Масса Юпитера 1,9*10²⁷ кг, его средний радиус 7,13*10⁷ м. Чему равно ускорение свободного падения для планеты Юпитер?

Краткий ответ

1. \(g\approx 24{,}9\) м/с², то есть примерно \(25\) м/с².
2. \(v\approx 5{,}7\) км/с.
3. \(v=10\) м/с.
4. В №4 условие обрезано после «...действующие на». Если сравниваются силы тяжести, действующие на одно и то же тело у поверхности Луны и Земли, то \(g_L=0{,}16\,g_E\), а сила тяжести на Луне в \(6{,}25\) раза меньше.

Как решать

1. Сила тяжести у поверхности планеты сообщает телу ускорение \(g\):

\[ mg=G\frac{Mm}{R^2} \quad\Rightarrow\quad g=\frac{GM}{R^2}. \]

Подставляем \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\), \(M=1{,}9\cdot10^{27}\) кг, \(R=7{,}13\cdot10^7\) м:

\[ g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}9\cdot10^{27}}{(7{,}13\cdot10^7)^2} \approx 24{,}9\ \text{м/с}^2. \]

2. На круговой орбите гравитация играет роль центростремительной силы:

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

На высоте, равной радиусу Земли, \(r=R+R=2R\). Первая космическая скорость у поверхности:

\[ v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=8\ \text{км/с}. \]

Поэтому

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{2R}}=\frac{v_1}{\sqrt2} =\frac{8}{1{,}414}\approx5{,}66\ \text{км/с}. \]

3. При движении по окружности

\[ a_c=\frac{v^2}{R}. \]

Отсюда

\[ v=\sqrt{a_cR}=\sqrt{2\cdot50}=10\ \text{м/с}. \]

4. Ускорение свободного падения:

\[ g=\frac{GM}{R^2}. \]

Если масса Луны в 100 раз меньше, а радиус в 4 раза меньше, то

\[ \frac{g_L}{g_E} = \frac{M_E/100}{M_E} \left(\frac{R_E}{R_E/4}\right)^2 = \frac{1}{100}\cdot16 = 0{,}16. \]

Для одного и того же тела \(F=mg\), значит,

\[ \frac{F_L}{F_E}=0{,}16, \]

то есть сила тяжести на Луне примерно в \(6{,}25\) раза меньше.

Проверка

• \(10^2/50=2\) м/с² — пункт 3 сходится.
• \(8/\sqrt2\approx5{,}7\) км/с — скорость на большей высоте меньше первой космической.
• \(0{,}16\cdot9{,}8\approx1{,}6\) м/с² — это близко к реальному ускорению на Луне.

Для точного ответа по №4 нужен конец условия: там должно быть указано, на какое именно тело действует сила.