Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

На фото номера 424–426. Ниже — ответы для всех хорошо читаемых пунктов. Считаем, что все корни определены, знаменатели не равны нулю; где есть \(a-b\) или \(x-y\), эта разность тоже не равна нулю.

424. а) \(\dfrac{x}{\sqrt5}=\dfrac{x\sqrt5}{5}\);

б) \(\dfrac{3}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{2}\);

в) \(\dfrac{2}{7\sqrt y}=\dfrac{2\sqrt y}{7y}\);

г) \(\dfrac{a}{b\sqrt6}=\dfrac{a\sqrt6}{6b}\);

д) \(\dfrac{4}{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{4(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}\);

е) \(\dfrac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\);

ж) \(\dfrac{5}{2\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{6}\);

з) \(\dfrac{8}{3\sqrt2}=\dfrac{4\sqrt2}{3}\);

и) \(\dfrac{3\sqrt5}{5\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\).

425. а) \(\dfrac{m}{\sqrt x}=\dfrac{m\sqrt x}{x}\);

б) \(\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\);

в) \(\dfrac{3}{5\sqrt c}=\dfrac{3\sqrt c}{5c}\);

г) \(\dfrac{a}{2\sqrt3}=\dfrac{a\sqrt3}{6}\);

д) \(\dfrac{3}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\);

е) \(\dfrac{5}{4\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{15}}{12}\).

426. а) \(\dfrac{4}{\sqrt3+1}=2(\sqrt3-1)\);

б) \(\dfrac{1}{1-\sqrt2}=-(1+\sqrt2)\);

в) \(\dfrac{1}{\sqrt x-\sqrt y}=\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{x-y}\);

г) \(\dfrac{a}{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{a(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}\);

д) \(\dfrac{33}{7-3\sqrt3}=\dfrac{3(7+3\sqrt3)}{2}\);

е) \(\dfrac{15}{2\sqrt5+5}=15-6\sqrt5\).

Как получается

Главный приём — умножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы корень из знаменателя исчез. Дробь при этом не меняется, потому что мы умножаем на \(1\) в виде, например, \(\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\).

Если в знаменателе \(\sqrt a\), умножаем на \(\sqrt a\): \[ \frac{5}{2\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3} =\frac{5\sqrt3}{2\cdot 3} =\frac{5\sqrt3}{6}. \]

Если в знаменателе сумма или разность корней, используем сопряжённое выражение. Например: \[ (\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b. \] Поэтому: \[ \frac{33}{7-3\sqrt3}\cdot\frac{7+3\sqrt3}{7+3\sqrt3} =\frac{33(7+3\sqrt3)}{49-27} =\frac{3(7+3\sqrt3)}{2}. \]

Проверить можно численно: в 426 е) \[ \frac{15}{2\sqrt5+5}\approx 1{,}58, \qquad 15-6\sqrt5\approx 1{,}58. \] Значения совпадают.