Сравните дроби: а) 3/4 и 7/12; б) 4/9 и 5/11; в) 3/5 и 47/75; г) 19/42 и 23/77.

Краткий ответ: \[ \frac34>\frac7{12},\qquad \frac49<\frac5{11},\qquad \frac35<\frac{47}{75},\qquad \frac{19}{42}>\frac{23}{77}. \]

Как рассуждать. Дроби с разными знаменателями удобно приводить к общему знаменателю и затем сравнивать числители. Для положительных дробей работает и сравнение «крест-накрест»: \[ \frac{a}{b} ? \frac{c}{d} \iff ad ? cb. \]

По пунктам:

а) \[ \frac34=\frac{9}{12},\qquad \frac{9}{12}>\frac{7}{12}, \] поэтому \[ \frac34>\frac{7}{12}. \]

б) Общий знаменатель \(99\): \[ \frac49=\frac{44}{99},\qquad \frac5{11}=\frac{45}{99}. \] Так как \(44<45\), \[ \frac49<\frac5{11}. \]

в) \[ \frac35=\frac{45}{75}, \] а \(45<47\), поэтому \[ \frac35<\frac{47}{75}. \]

г) Сравним крест-накрест: \[ 19\cdot77=1463,\qquad 23\cdot42=966. \] Поскольку \(1463>966\), \[ \frac{19}{42}>\frac{23}{77}. \]

Проверка: значения дробей примерно равны \(0{,}75>0{,}583\); \(0{,}444<0{,}455\); \(0{,}6<0{,}627\); \(0{,}452>0{,}299\), что подтверждает знаки.