417. Выполните действия: а) (2√5 + 1)(2√5 − 1); б) (5√7 − √13)(√13 + 5√7); в) (3√2 − 2√3)(2√3 + 3√2);

Раскрываем выражения с помощью формул сокращённого умножения:

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2,\qquad (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2, \] и учитываем, что \((\sqrt{x})^2=x\).

а) \[ (2\sqrt5-1)(2\sqrt5+1)=(2\sqrt5)^2-1^2=4\cdot5-1=20-1=19. \]

б) \[ (5\sqrt7-\sqrt{13})(5\sqrt7+\sqrt{13}) =(5\sqrt7)^2-(\sqrt{13})^2 =25\cdot7-13 =175-13=162. \]

в) \[ (3\sqrt2-2\sqrt3)(3\sqrt2+2\sqrt3) =(3\sqrt2)^2-(2\sqrt3)^2 =9\cdot2-4\cdot3 =18-12=6. \]

г) \[ (1+3\sqrt5)^2 =1^2+2\cdot1\cdot3\sqrt5+(3\sqrt5)^2 =1+6\sqrt5+9\cdot5 =1+6\sqrt5+45 =46+6\sqrt5. \]

д) \[ (2\sqrt3-7)^2 =(2\sqrt3)^2-2\cdot2\sqrt3\cdot7+7^2 =12-28\sqrt3+49 =61-28\sqrt3. \]

е) \[ (2\sqrt{10}-\sqrt2)^2 =(2\sqrt{10})^2-2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2 =40-4\sqrt{20}+2. \] Так как \(\sqrt{20}=2\sqrt5\), получаем: \[ 42-4\cdot2\sqrt5=42-8\sqrt5. \]

Ответ: а) \(19\); б) \(162\); в) \(6\); г) \(46+6\sqrt5\); д) \(61-28\sqrt3\); е) \(42-8\sqrt5\).

Оставляю краткий формат, но с полной записью каждого примера:

а) \((2\sqrt5-1)(2\sqrt5+1)=(2\sqrt5)^2-1^2=20-1=19\)

б) \((5\sqrt7-\sqrt{13})(5\sqrt7+\sqrt{13})=(5\sqrt7)^2-(\sqrt{13})^2=175-13=162\)

в) \((3\sqrt2-2\sqrt3)(3\sqrt2+2\sqrt3)=(3\sqrt2)^2-(2\sqrt3)^2=18-12=6\)

г) \((1+3\sqrt5)^2=1+6\sqrt5+45=46+6\sqrt5\)

д) \((2\sqrt3-7)^2=12-28\sqrt3+49=61-28\sqrt3\)

е) \((2\sqrt{10}-\sqrt2)^2=40-4\sqrt{20}+2=42-8\sqrt5\)

Ответ: а) \(19\); б) \(162\); в) \(6\); г) \(46+6\sqrt5\); д) \(61-28\sqrt3\); е) \(42-8\sqrt5\).