276. Приведите пример: а) рационального числа; б) иррационального числа.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Упражнения

276. Приведите пример:
а) рационального числа; б) иррационального числа.

277. Верно ли, что:
а) каждое рациональное число является действительным;
б) каждое действительное число является рациональным;
в) каждое иррациональное число является действительным;
г) каждое действительное число является иррациональным?

278. Среди чисел $\frac{1}{7}$; 0; 0,25; −2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; π, укажите рациональные и иррациональные.

279. Верно ли, что:
а) 7,16 ∈ N; 7,16 ∈ Z; 7,16 ∈ Q; 7,16 ∈ R;
[обрезано] 409 ∈ Q; 409 ∈ R; [обрезано]

Answer

На фото — упражнения 276–279. Ниже полные решения 276–278; у 279 нижняя часть обрезана, поэтому разобрал только видимую строку.

276. Примеры

а) рациональное число: $1{,}5$ (подойдут также $\frac{3}{4}$, $0$, $-2$, $0{,}(7)$);
б) иррациональное число: $\sqrt{2}$ (подойдут $\pi$, $0{,}1010010001\ldots$).

Принцип. Рациональное число можно записать в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное. Иррациональное так записать нельзя.

277. Верно ли?

а) каждое рациональное число является действительным — верно;

б) каждое действительное число является рациональным — неверно, контрпример: $\sqrt{2} \in R$, но $\sqrt{2} \notin Q$;

в) каждое иррациональное число является действительным — верно;

г) каждое действительное число является иррациональным — неверно, контрпример: $3$ — действительное, но рациональное.

Связь множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$, при этом $R = Q \cup I$ и $Q \cap I = \varnothing$ ($I$ — иррациональные).

278. Рациональные и иррациональные

Рациональные: $\frac{1}{7}$; $0$; $0{,}25$; $-2{,}(3)$; $4{,}2(51)$; $217$.
Иррациональные: $0{,}818118111\ldots$; $\pi$.

Почему так:

$\frac{1}{7} = 0{,}(142857)$ — обыкновенная дробь, значит рациональное;

$0 = \frac{0}{1}$, $217 = \frac{217}{1}$, $0{,}25 = \frac{1}{4}$ — целые и конечные десятичные дроби рациональны;

$-2{,}(3) = -\frac{7}{3}$ — периодическая дробь, рациональная;

$4{,}2(51)$ — тоже периодическая: $0{,}0(51) = \frac{51}{990} = \frac{17}{330}$, поэтому
$$4{,}2(51) = \frac{21}{5} + \frac{17}{330} = \frac{1403}{330}$$
— рациональное;

$0{,}818118111\ldots$ — бесконечная непериодическая дробь (единиц между восьмёрками всё больше), значит иррациональное;

$\pi = 3{,}14159\ldots$ — бесконечная непериодическая, иррациональное.

Правило для похожих заданий: конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь всегда рациональна; бесконечная непериодическая — иррациональна. Корень из числа, не являющегося полным квадратом, тоже иррациональное число.

279 (видно частично)

$7{,}16 \in N$ — неверно; $7{,}16 \in Z$ — неверно; $7{,}16 \in Q$ — верно; $7{,}16 \in R$ — верно, так как $7{,}16 = \frac{179}{25}$ — не целое.