2,264

Краткий ответ (2.264):

\[ \text{а) }\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{11}=\frac{10}{33};\quad \text{б) }\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{11}=\frac{10}{99};\quad \text{в) }\frac{7}{12}\cdot\frac{5}{6}=\frac{35}{72}; \] \[ \text{г) }\frac{5}{7}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{42};\quad \text{д) }\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{9}=\frac{5}{18};\quad \text{е) }\frac{11}{12}\cdot\frac{7}{9}=\frac{77}{108}. \]

Как это устроено. Дробь на дробь умножают «крест-накрест по правилу»: числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель: \[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}. \] Знаменатели при умножении не складывают и не приводят к общему знаменателю — это только для сложения и вычитания.

По шагам:

• а) \(2\cdot5=10\), \(3\cdot11=33\) ⟹ \(\frac{10}{33}\). Сократить нельзя: 10 и 33 общих множителей не имеют.
• б) \(2\cdot5=10\), \(9\cdot11=99\) ⟹ \(\frac{10}{99}\). Не сокращается.
• в) \(7\cdot5=35\), \(12\cdot6=72\) ⟹ \(\frac{35}{72}\). Не сокращается: \(35=5\cdot7\), а \(72=2^3\cdot3^2\).
• г) \(5\cdot5=25\), \(7\cdot6=42\) ⟹ \(\frac{25}{42}\). Не сокращается.
• д) \(1\cdot5=5\), \(2\cdot9=18\) ⟹ \(\frac{5}{18}\). Не сокращается.
• е) \(11\cdot7=77\), \(12\cdot9=108\) ⟹ \(\frac{77}{108}\). Не сокращается: \(77=7\cdot11\), \(108=2^2\cdot3^3\).

Полезный приём. Сокращать удобнее до умножения: ищем общий множитель в числителе одной дроби и знаменателе другой. Например, в задании 2.265: \(\frac{15}{16}\cdot\frac{10}{11}\) — пятёрка из 10 и 15 даёт \(\frac{3}{16}\cdot\frac{10}{11}\), а двойка из 10 и 16 даёт \(\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{11}=\frac{15}{88}\). Так числа остаются маленькими.

Проверка. Умножение дробей можно проверить обратным действием: \(\frac{10}{33}:\frac{5}{11}=\frac{10}{33}\cdot\frac{11}{5}=\frac{2}{3}\) — вернулась первая дробь, значит, произведение найдено правильно.