Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это самостоятельное задание, разбираю его с нуля. Кратко:

• а) \(D(g)=\mathbb{R}\), то есть \((-\infty;+\infty)\);
• б) \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\);
• в) \(D(\varphi)=[3;+\infty)\);
• г) \(D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty)\).

Принцип: откуда берутся запреты

Область определения — все значения \(x\), при которых выражение имеет смысл. Ограничения дают только две операции:

1. Деление — знаменатель не равен нулю.
2. Корень чётной степени — подкоренное выражение неотрицательно (\(\ge 0\)).
3. Если ничего из этого нет (например, многочлен) — ограничений нет.

Решение по пунктам

а) \(g(x)=10-x^{2}\) — многочлен, ни деления, ни корней: \[ D(g)=(-\infty;+\infty). \]

б) \(f(x)=-\dfrac{42}{x}\) — есть деление, значит \(x\neq 0\): \[ D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

в) \(\varphi(x)=\sqrt{x-3}\) — корень второй степени, значит подкоренное выражение \(\ge 0\): \[ x-3\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 3,\qquad D(\varphi)=[3;+\infty). \] Скобка перед тройкой квадратная, потому что при \(x=3\) получается \(\sqrt{0}=0\) — это допустимо.

г) \(y=\dfrac{12}{x+4}\) — снова деление, знаменатель не нуль: \[ x+4\neq 0 \;\Rightarrow\; x\neq -4,\qquad D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty). \]

Проверка

Подставлю «пограничные» значения:

• в) \(x=2\): \(\sqrt{2-3}=\sqrt{-1}\) — не существует, значит \(x=2\) действительно вне области; \(x=3\): \(\sqrt{0}=0\) — годится;
• г) \(x=-4\): знаменатель \(0\), делить нельзя — точка выколота, а, например, \(x=0\) даёт \(y=3\) — всё в порядке.

Главное, что стоит запомнить: ищите в формуле деление и корни — именно они «вырезают» точки из области определения, а у многочленов область всегда вся числовая прямая.