реши задачу 6 и сделай рисунок

Question

Расшифровка фото нейросетью:
6. Грузовой автомобиль массой $M = 4$ т с двумя ведущими осями тянет за тросом легковой автомобиль с выключенным двигателем, масса которого $m = 1$ т. С каким максимальным ускорением могут двигаться автомобили, если угол уклона составляет $\alpha = \arcsin(0{,}1)$, а коэффициент трения между шинами грузового автомобиля и дорогой $\mu = 0{,}2$? Силой трения качения, действующей на легковой автомобиль, пренебречь. Массой колес пренебречь.

Answer

Краткий ответ: $a_{\max}\approx0{,}59$ м/с², то есть примерно $0{,}6$ м/с² при $g=10$ м/с². При $g=9{,}8$ м/с² получается $0{,}58$ м/с². Это для движения вверх по уклону.

Рисунок-схема:

Движение вверх по уклону ↗

┌──────────┐
│ M = 4 т │ грузовик
Fтр→ └──────────┘
/ ↑
/ │ трос
┌──────────┐ /
│ m = 1 т │───────/
└──────────┘
______/__________________________
α

Вдоль уклона:

на грузовик: $F_{\text{тр}}$ вверх, $T$ и $Mg\sin\alpha$ вниз;

на легковой автомобиль: $T$ вверх, $mg\sin\alpha$ вниз.

Ход решения

Легковой автомобиль с выключенным двигателем не создаёт силы тяги, его только тянет трос. Оба автомобиля движутся с одинаковым ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона вдоль уклона:

$$
F_{\text{тр}}-T-Mg\sin\alpha=Ma,
$$

$$
T-mg\sin\alpha=ma.
$$

Сложим уравнения — натяжение $T$ сократится:

$$
F_{\text{тр}}-(M+m)g\sin\alpha=(M+m)a.
$$

Максимальное ускорение ограничено сцеплением ведущих колёс грузовика с дорогой:

$$
F_{\text{тр}}\le \mu N=\mu Mg\cos\alpha.
$$

В пределе при максимальном ускорении:

$$
\mu Mg\cos\alpha-(M+m)g\sin\alpha=(M+m)a_{\max}.
$$

Отсюда:

$$
a_{\max}
=
g\left(
\frac{\mu M\cos\alpha}{M+m}-\sin\alpha
\right).
$$

Дано:

$$
M=4\ \text{т},\qquad m=1\ \text{т},\qquad \sin\alpha=0{,}1,
$$

$$
\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}1^2}=\sqrt{0{,}99}\approx0{,}995.
$$

Подставляем:

$$
a_{\max}
=
10\left(
\frac{0{,}2\cdot4\cdot0{,}995}{5}-0{,}1
\right)
\approx
10(0{,}1592-0{,}1)
\approx0{,}592.
$$

$$
\boxed{a_{\max}\approx0{,}59\ \text{м/с}^2\approx0{,}6\ \text{м/с}^2}
$$

Проверка. При таком ускорении требуемая сила трения:

$$
F_{\text{тр}}=(M+m)(a+g\sin\alpha)
\approx5000(0{,}592+1)
\approx7960\ \text{Н}.
$$

Предел сцепления:

$$
\mu Mg\cos\alpha
\approx0{,}2\cdot4000\cdot10\cdot0{,}995
\approx7960\ \text{Н}.
$$

Совпадает — это действительно граница начала пробуксовки. Если бы нужно было большее ускорение, шины грузовика уже не смогли бы передать дороге нужную силу трения.