Дайте ответ и решении с объясните

Я готов помочь, но в сообщении нет самого задания — только просьба дать ответ с решением и объяснением.

Пришлите условие: текст задачи, номер упражнения или фото страницы. Я решу, покажу шаги и объясню принцип.

На фото — пункт а) из уже разобранного задания:

\[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right) \]

Ответ: \(6\) при \(a\ne 3\) и \(a\ne -3\).

Решение

1. Разложим числитель первой дроби: \[ a^2-9=(a-3)(a+3). \]

2. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \((a-3)(a+3)\): \[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} = \frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)}. \]

3. Раскроем скобки: \[ (6a+1)(a+3)=6a^2+19a+3, \] \[ (6a-1)(a-3)=6a^2-19a+3. \]

Складываем: \[ 6a^2+19a+3+6a^2-19a+3 = 12a^2+6 = 6(2a^2+1). \]

Значит, \[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} = \frac{6(2a^2+1)}{(a-3)(a+3)}. \]

4. Подставляем в исходное выражение: \[ \frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1} \cdot \frac{6(2a^2+1)}{(a-3)(a+3)}. \]

Все множители \((a-3)(a+3)\) и \((2a^2+1)\) сокращаются, остаётся: \[ 6. \]

Проверка

Возьмём \(a=0\): \[ \frac{-9}{1}\left(\frac{1}{-3}+\frac{-1}{3}\right) = -9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=6. \]

Значит, ответ верный. Ограничения \(a\ne 3,\ a\ne -3\) нужны потому, что при этих значениях обращаются в нуль знаменатели дробей.

\[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right) = \frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot \frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} \]

\[ = \frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot \frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} = \frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot \frac{6(2a^2+1)}{(a-3)(a+3)} =6 \]

\[ a\ne 3,\quad a\ne -3 \]

Ответ: \(6\).

Понимаю, такие длинные дроби правда пугают — но здесь всё держится на одной идее: всё лишнее сокращается.

Шаг 1. Замечаем, что \(a^2-9=(a-3)(a+3)\). Это «ключик» ко всей задаче.

Шаг 2. В скобках у дробей знаменатели \(a-3\) и \(a+3\). Приводим к общему: \[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} =\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)}. \]

Шаг 3. Считаем верх: \[ (6a+1)(a+3)=6a^2+19a+3, \] \[ (6a-1)(a-3)=6a^2-19a+3. \] Складываем: \(12a^2+6=6(2a^2+1)\).

Шаг 4. Теперь всё вместе: \[ \frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{(a-3)(a+3)}. \] Сверху и снизу стоят одинаковые скобки — они сокращаются, остаётся \(\mathbf{6}\).

Проверим на числе. Пусть \(a=1\): \[ \frac{1-9}{2+1}\left(\frac{7}{-2}+\frac{5}{4}\right) =\frac{-8}{3}\cdot\left(-\frac{9}{4}\right)=6. \] Получилось 6 — как и в формуле.

Хочешь, разберём только шаг 2 — как складывать дроби с разными знаменателями?

Прости за ожидание — вот вторая часть, совсем коротко.

\[ \left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2} \]

1. Общий знаменатель в скобках: \((x-5y)(x+5y)=x^2-25y^2\).

2. Числитель: \[ (5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y) \] \[ =5x^2+26xy+5y^2+5x^2-26xy+5y^2=10(x^2+y^2). \]

3. Скобка: \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}. \]

4. Деление — это умножение на перевёрнутую дробь: \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=10. \]

Ответ: \(10\), при \(x\ne 5y,\ x\ne -5y\).

Проверка: \(x=0,\ y=1\): \[ \left(\frac{1}{-5}+\frac{-1}{5}\right):\frac{1}{-25} =-\frac{2}{5}\cdot(-25)=10. \]

Совпало — так что оба пункта: а) 6, б) 10.

а) \[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right) =\frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} \] \[ =\frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} =\frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{(a-3)(a+3)}=6 \] \[ a\ne 3,\quad a\ne -3 \]

Ответ: \(6\).

б) \[ \left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2} =\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2} \] \[ =\frac{10x^2+10y^2}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2} =\frac{10(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=10 \] \[ x\ne 5y,\quad x\ne -5y,\quad x^2+y^2\ne 0 \]

Ответ: \(10\).

Понял. Тогда скажи, что именно не подходит: непонятно, как складывать дроби с разными знаменателями, как раскрываются скобки в числителе или почему всё сокращается?

Могу объяснить совсем иначе — не формулами, а на конкретных числах: подставим \(a=1\), потом \(a=2\), посчитаем на калькуляторе, увидим, что каждый раз выходит 6, и разберём, почему так получается всегда. Такой вариант подойдёт?

Хорошо, давай на числах. Возьмём пункт а) и просто посчитаем его для нескольких \(a\).

Считаем при \(a=1\):

Первая дробь: \[ \frac{1-9}{2\cdot1+1}=\frac{-8}{3}. \]

Скобка — считаем каждую дробь отдельно: \[ \frac{6\cdot1+1}{1-3}=\frac{7}{-2}=-3{,}5, \qquad \frac{6\cdot1-1}{1+3}=\frac{5}{4}=1{,}25. \] Вместе: \(-3{,}5+1{,}25=-2{,}25=-\frac{9}{4}\).

Умножаем: \[ -\frac{8}{3}\cdot\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{72}{12}=6. \]

Считаем при \(a=2\):

Первая дробь: \[ \frac{4-9}{8+1}=\frac{-5}{9}. \] Скобка: \[ \frac{13}{-1}+\frac{11}{5}=-13+2{,}2=-10{,}8=-\frac{54}{5}. \] Умножаем: \[ -\frac{5}{9}\cdot\left(-\frac{54}{5}\right)=\frac{54}{9}=6. \]

Что мы увидели: каждый раз получается 6, хотя числа внутри совсем разные. Значит, там есть скрытое «взаимное уничтожение».

Откуда оно берётся. Смотри на скобку: при \(a=1\) она дала \(-\frac{9}{4}\), при \(a=2\) — \(-\frac{54}{5}\). А теперь посмотри на первую дробь: при \(a=1\) это \(-\frac{8}{3}\), при \(a=2\) — \(-\frac{5}{9}\). Заметил, что они как бы «перевёрнуты» друг относительно друга? Если сложить дроби в скобках аккуратно, наверху получается \(12a^2+6\), то есть \(6(2a^2+1)\), а внизу — \(a^2-9\). Проверим на наших числах: при \(a=1\) это \(\frac{18}{-8}=-2{,}25\), при \(a=2\) — \(\frac{54}{-5}=-10{,}8\). Совпадает.

И тогда умножение выглядит так: \[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}. \] Скобка \((a^2-9)\) стоит сверху и снизу — сокращается. Скобка \((2a^2+1)\) — тоже. Остаётся только множитель \(6\). Это как \(\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{3}=2\): числитель одного гасит знаменатель другого.

Пункт б) так же на числах. Возьмём \(x=1,\ y=0\): \[ \frac{5}{1}+\frac{5}{1}=10,\qquad \frac{1+0}{1-0}=1,\qquad 10:1=10. \] Возьмём \(x=0,\ y=1\): \[ \frac{1}{-5}+\frac{-1}{5}=-\frac{2}{5},\qquad \frac{1}{-25}=-\frac{1}{25},\qquad -\frac{2}{5}:\left(-\frac{1}{25}\right)=10. \] Снова 10. Причина та же: после сложения скобок наверху оказывается \(10(x^2+y^2)\), а снизу \(x^2-25y^2\), и при делении эти скобки сокращаются.

Хочешь, разберём отдельно самый трудный момент — как из двух дробей получается один общий знаменатель? Это удобно увидеть на \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\).

Что на фото (повернул запись):

\[ \frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a} \]

Решение

1. Раскладываем на множители: \[ a^2-25=(a-5)(a+5),\qquad a^2+5a=a(a+5),\qquad a^2-3a=a(a-3). \]

2. Считаем произведение — скобка \((a+5)\) сокращается: \[ \frac{(a-5)(a+5)}{a+3}\cdot\frac{1}{a(a+5)} =\frac{a-5}{a(a+3)}. \]

3. Теперь вычитание, общий знаменатель \(a(a+3)(a-3)\): \[ \frac{a-5}{a(a+3)}-\frac{a+5}{a(a-3)} =\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}. \]

4. Раскрываем скобки в числителе: \[ (a^2-8a+15)-(a^2+8a+15)=-16a. \]

5. Подставляем: \[ \frac{-16a}{a(a^2-9)}=-\frac{16}{a^2-9}. \]

Ответ: \[ -\frac{16}{a^2-9} \] (то же самое, что \(\frac{16}{9-a^2}\)).

Ограничения: \(a\ne 0,\ a\ne 3,\ a\ne -3,\ a\ne -5\).

Проверка числом

При \(a=1\): \[ \frac{1-25}{4}\cdot\frac{1}{6}-\frac{6}{1-3}=(-6)\cdot\frac{1}{6}-(-3)=-1+3=2. \] По формуле: \(-\frac{16}{1-9}=2\). Совпало.

Общий принцип здесь тот же, что и в прошлых примерах: сначала разложить на множители, потом сократить, и только затем приводить к общему знаменателю.

\[ \frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a} \]

\[ a^2-25=(a-5)(a+5),\quad a^2+5a=a(a+5),\quad a^2-3a=a(a-3) \]

\[ =\frac{(a-5)(a+5)}{a+3}\cdot\frac{1}{a(a+5)}-\frac{a+5}{a(a-3)} =\frac{a-5}{a(a+3)}-\frac{a+5}{a(a-3)} \]

\[ =\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)} =\frac{(a^2-8a+15)-(a^2+8a+15)}{a(a^2-9)} \]

\[ =\frac{-16a}{a(a^2-9)}=-\frac{16}{a^2-9} \]

Ответ: \(-\frac{16}{a^2-9}\), при \(a\ne 0,\ a\ne \pm 3,\ a\ne -5\).