1. Вычислите: а) 1/5√225 + 2,5 √0,64; б) 1,5 – 9 √25/81; в) (3 √1,4)².

Краткие ответы

1. а) \(5\); б) \(-3{,}5\); в) \(12{,}6\)
2. а) \(2{,}4\); б) \(12\); в) \(5\); второй пункт в) \(72\)
3. а) \(x=\pm0{,}9\); б) \(x=\pm\sqrt{13}\)
4. а) \(3y^6\); б) \(-42\)
5. \(6{,}3\) и \(6{,}4\)
6. 1. \((x-2)(3x+1)\); 2) \((x-6)(x-9)\)

Правила, на которых держится весь лист

• \(\sqrt{a^2}=|a|\) — корень из квадрата всегда неотрицателен. Это ключ к № 4.
• \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) и \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}\) — можно «собирать» и «разбирать» корни.
• \((\sqrt a)^2=a\) при \(a\ge 0\) — возведение в квадрат убирает корень.

Разбор по номерам

№ 1. Здесь просто считаем корни из точных квадратов и подставляем.

а) \(\sqrt{225}=15\), значит \(\frac15\cdot15=3\). Далее \(\sqrt{0{,}64}=0{,}8\), поэтому \(2{,}5\cdot0{,}8=2\). Итого \(3+2=5\).

б) \(\sqrt{\frac{25}{81}}=\frac{5}{9}\), тогда \(9\cdot\frac59=5\). Получаем \(1{,}5-5=-3{,}5\).

в) Квадрат произведения — произведение квадратов: \((3\sqrt{1{,}4})^2=3^2\cdot(\sqrt{1{,}4})^2=9\cdot1{,}4=12{,}6\).

№ 2. Используем свойства корней.

а) \(\sqrt{0{,}36\cdot16}=\sqrt{0{,}36}\cdot\sqrt{16}=0{,}6\cdot4=2{,}4\). б) \(\sqrt2\cdot\sqrt{72}=\sqrt{144}=12\). в) \(\dfrac{\sqrt{125}}{\sqrt5}=\sqrt{\dfrac{125}{5}}=\sqrt{25}=5\). Второй пункт в) \(\sqrt{3^4\cdot8^2}=\sqrt{3^4}\cdot\sqrt{8^2}=3^2\cdot8=9\cdot8=72\) (модуль не нужен: \(8>0\)).

№ 3. Из \(x^2=a\) при \(a>0\) получаются два корня: \(x=\pm\sqrt a\).

а) \(x=\pm\sqrt{0{,}81}=\pm0{,}9\). б) \(x=\pm\sqrt{13}\) — точного корня нет, так и оставляем.

№ 4. Главная ловушка — модуль.

а) \(\sqrt{9y^2}=3|y|=3y\), так как \(y\ge0\). Тогда \(y^5\cdot3y=3y^6\). б) \(\sqrt{\dfrac{36}{a^2}}=\dfrac{6}{|a|}=\dfrac{6}{-a}\), так как \(a<0\). Тогда \(7a\cdot\dfrac{6}{-a}=-42\). Буква \(a\) сокращается, остаётся число.

№ 5. Сравнивать корень удобнее через квадраты: \(6{,}3^2=39{,}69<40\), а \(6{,}4^2=40{,}96>40\). Значит \(6{,}3<\sqrt{40}<6{,}4\) — подходят соседние дроби \(6{,}3\) и \(6{,}4\).

№ 6. Для трёхчлена \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), где \(x_1,x_2\) — корни.

1. \(3x^2-5x-2\): \(D=25+24=49\), \(x=\dfrac{5\pm7}{6}\), то есть \(x_1=2\), \(x_2=-\dfrac13\). Тогда \(3\left(x-2\right)\left(x+\dfrac13\right)=(x-2)(3x+1)\).

2. \(x^2-15x+54\): \(D=225-216=9\), \(x=\dfrac{15\pm3}{2}\), то есть \(9\) и \(6\). Получаем \((x-6)(x-9)\).

Проверка: \((x-2)(3x+1)=3x^2+x-6x-2=3x^2-5x-2\) и \((x-6)(x-9)=x^2-15x+54\) — сходится.