Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: \(\sqrt{25}=5\), а \(-\sqrt{25}=-5\).

Почему так

1. Знак \(\sqrt{\ }\) — это арифметический квадратный корень. Он по определению даёт неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Так как \(5^2=25\) и \(5\ge 0\), получаем \(\sqrt{25}=5\).
2. Второе выражение — это тот же корень, только перед ним стоит минус: \(-\sqrt{25}=-(5)=-5\).

Частая ошибка. Писать \(\sqrt{25}=\pm 5\) нельзя. Два значения \(\pm 5\) имеют решения уравнения \(x^2=25\), а сам знак корня \(\sqrt{25}\) равен только \(5\). Минус появляется лишь тогда, когда он явно стоит перед корнем, как во втором окошке.

Проверка: \(5\cdot 5=25\) и \((-5)\cdot(-5)=25\) — оба числа подходят по квадрату, но неотрицательным из них является только \(5\).

В окошки впишите: первое — \(5\), второе — \(-5\).

Ответ: \(56\).

Как найти по таблице квадратов

1. Разбей число на пары цифр справа налево: \(31\,|\,36\).
2. Первая пара \(31\) задаёт начало корня: \(5^2=25\le 31\), а \(6^2=36>31\). Значит корень начинается с \(5\), то есть он между \(50\) и \(60\).
3. Последняя цифра квадрата — \(6\). Квадрат оканчивается на \(6\) только у чисел, оканчивающихся на \(4\) или \(6\): \(4^2=16\), \(6^2=36\).
4. Осталось сравнить два варианта из таблицы: \(54^2=2916\), а \(56^2=3136\). Подходит \(56\).

Проверка: \(56\cdot 56=(50+6)^2=2500+600+36=3136\). Верно.

На скриншоте в поле ответа, судя по всему, введено не \(56\) — если там стоит \(24\), исправьте на \(56\) и нажмите «Ответить».

Это продолжение той же темы — квадратный корень, задание из того же ДЗ 20. Только число другое, поэтому решаю его так же по шагам.

Ответ: \(600\).

Как вычислить без калькулятора

1. Разложи подкоренное число на множители, из которых корень берётся легко: \[ 360000 = 36 \cdot 10000. \]
2. Корень из произведения равен произведению корней: \[ \sqrt{360000}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{10000}=6\cdot 100=600. \]

Второй способ — по парам цифр

Разбей запись справа налево на пары: \(36\,|\,00\,|\,00\). Пар три, значит в корне будет три цифры. Первая пара \(36\) даёт первую цифру \(6\), а каждая следующая пара \(00\) добавляет по нулю: получаем \(600\).

Проверка: \(600^2=360000\). Верно.

В поле ответа впишите \(600\) и нажмите «Ответить».

Ответ: \(\dfrac{5}{8}\).

Как решать

1. Корень из дроби равен отношению корней из числителя и знаменателя: \[ \sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}}. \]
2. Считаем каждый корень: \(\sqrt{25}=5\), так как \(5^2=25\); \(\sqrt{64}=8\), так как \(8^2=64\).
3. Получаем \(\dfrac{5}{8}\).

Проверка: \(\left(\dfrac{5}{8}\right)^2=\dfrac{25}{64}\) — верно.

В поле ответа впишите \(5/8\). Числитель и знаменатель здесь — точные квадраты (\(25=5^2\), \(64=8^2\)), поэтому корень извлекается нацело; если бы под корнем стояло, например, \(\dfrac{2}{9}\), ответ записали бы как \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\).

Ответ: \(\dfrac{7}{6}\), то есть \(1\dfrac{1}{6}\).

Как решать

1. Сначала переведи смешанное число в неправильную дробь: \[ 1\frac{13}{36}=\frac{1\cdot 36+13}{36}=\frac{49}{36}. \]
2. Корень из дроби — это корень из числителя, делённый на корень из знаменателя: \[ \sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}}=\frac{7}{6}. \]
3. Оба числа — точные квадраты: \(49=7^2\), \(36=6^2\), поэтому корень извлекается нацело.

Проверка: \[ \left(\frac{7}{6}\right)^2=\frac{49}{36}=1\frac{13}{36}. \] Всё верно.

В поле ответа впиши \(\frac{7}{6}\) (если платформа принимает смешанные числа — \(1\frac{1}{6}\)).

Ответ: \(0{,}02\).

Как решать

1. Запиши десятичную дробь в виде обыкновенной: \[ 0{,}0004=\frac{4}{10000}. \]
2. Корень из дроби — это корень из числителя, делённый на корень из знаменателя: \[ \sqrt{\frac{4}{10000}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10000}}=\frac{2}{100}=0{,}02. \]

Быстрый способ. В числе \(0{,}0004\) четыре знака после запятой — чётное число. Значит, в корне будет два знака после запятой, а \(\sqrt{4}=2\). Получаем \(0{,}02\).

Проверка: \[ 0{,}02\cdot 0{,}02=0{,}0004. \]

В поле ответа впиши 0,02 (если сайт требует точку — 0.02) и нажми «Ответить».

Это продолжение той же темы — квадратный корень, задание №6 из ДЗ 20. Отличие от предыдущих примеров только в том, что под корнем стоит десятичная дробь.

Ответ: \(5{,}6\).

Как решать по таблице квадратов

1. Убери запятую и считай корень из целого числа: \(31{,}36=\dfrac{3136}{100}\). По таблице \(56^2=3136\), то есть \(\sqrt{3136}=56\).
2. Корень из знаменателя: \(\sqrt{100}=10\).
3. Делим: \[ \sqrt{31{,}36}=\frac{\sqrt{3136}}{\sqrt{100}}=\frac{56}{10}=5{,}6. \]

Проверка: \(5{,}6\cdot 5{,}6=31{,}36\) — верно.

Почему запятая ставится именно так. В числе \(31{,}36\) две цифры после запятой, а \(56^2\) даёт две цифры в дробной части? Нет — считай по правилу: \(31{,}36=3136:100\), а корень из \(100\) равен \(10\), поэтому в ответе одна цифра после запятой: \(5{,}6\), а не \(56\) и не \(0{,}56\).

В поле впиши 5,6 и нажми «Ответить».

Это продолжение той же темы — задание №7 из ДЗ 20. Здесь новый тип примера: не нужно извлекать корень, достаточно знать определение.

Ответы по порядку: \[ \left(\sqrt{11}\right)^2=11,\qquad \left(\sqrt{2{,}22}\right)^2=2{,}22,\qquad \left(\sqrt{1\frac{6}{13}}\right)^2=1\frac{6}{13}. \]

Почему так

По определению \(\sqrt{a}\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Поэтому возведение корня в квадрат сразу возвращает подкоренное число: \[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a \quad (a\ge 0). \] Действительно, \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\) — это записано в самом определении. Никаких вычислений не требуется.

Проверка на числах

1. \(\sqrt{11}\) — число, квадрат которого равен \(11\), значит \(\left(\sqrt{11}\right)^2=11\).
2. Аналогично \(\left(\sqrt{2{,}22}\right)^2=2{,}22\).
3. Смешанное число тоже подходит: \(\left(\sqrt{1\frac{6}{13}}\right)^2=1\frac{6}{13}\).

Важно для третьего поля. Если платформа не принимает смешанную запись, введи неправильную дробь: \[ 1\frac{6}{13}=\frac{1\cdot 13+6}{13}=\frac{19}{13}. \] Значение \(\frac{19}{13}\) и \(1\frac{6}{13}\) — одно и то же число.

Не путай с похожим случаем: \(\sqrt{a^2}=|a|\), там модуль обязателен, если \(a\) может быть отрицательным. А в твоих примерах квадрат стоит снаружи корня, поэтому ответ — просто подкоренное выражение.

Это продолжение той же темы — задание №8 из ДЗ 20. Новое здесь только формулировка: нужно не вычислить корень, а проверить, существует ли он.

Ответ: отметить 3-е и 4-е выражения — \(\sqrt{17}\) и \(\sqrt{-3{,}31+4{,}31}\).

Ключевое правило. Квадратный корень из числа \(a\) существует в действительных числах только при \(a\ge 0\). Если под корнем получается отрицательное число, корня нет.

Проверяем каждое:

1. \(\sqrt{11-2\cdot 6}\). Сначала умножение: \(2\cdot 6=12\), затем \(11-12=-1\). Под корнем отрицательное число, значит выражение не существует.
2. \(\sqrt{-9}\). Под корнем уже стоит \(-9<0\) — не существует.
3. \(\sqrt{17}\). Здесь \(17>0\), корень существует (он равен примерно \(4{,}12\), но точное значение не требуется).
4. \(\sqrt{-3{,}31+4{,}31}\). Считаем сумму: \(-3{,}31+4{,}31=1\). Под корнем \(1>0\), значит \(\sqrt{1}=1\) — выражение существует.

Проверка логики: подходят только те варианты, где подкоренное выражение не меньше нуля. В первом и втором оно отрицательное, в третьем и четвёртом — положительное.

Поставь галочки в двух нижних строках и нажми «Ответить».

Это продолжение той же темы — задание №9 из ДЗ 20. Новое здесь только то, что вместо чисел стоят параметры \(a\) и \(b\).

Ответ

В выпадающем списке выбирай \(\ge\) в первой строке и \(\le\) во второй, а в поля значений впиши \(a\) и \(-b\).

Почему так

1. Квадратный корень в действительных числах существует только из неотрицательного числа: подкоренное выражение должно быть \(\ge 0\).
2. Первая строка: под корнем стоит \(a\), значит нужно \(a \ge 0\). А по определению корня \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\) — возведение корня в квадрат возвращает подкоренное число.
3. Вторая строка: под корнем стоит \(-b\), поэтому требуется \(-b \ge 0\). Умножаем обе части на \(-1\), знак неравенства меняется: \(b \le 0\). И тогда \[ \left(\sqrt{-b}\right)^2=-b. \]

Проверка на числе. Возьми \(b=-4\) — это подходит под условие \(b \le 0\). Тогда \(\sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2\), а \(2^2=4=-b\). Совпало.

Не путай: писать \(b \ge 0\) нельзя — при положительном \(b\) под корнем окажется отрицательное число, и выражение потеряет смысл.