266 В таблице 17 дано распределение вероятностей случайной величины X. а) Составьте распределение случайной величины X − EX (отклонения от математического ожидания).

Кратко по №266 (он полностью виден в кадре): \(EX=2{,}1\), \(DX=0{,}89\), \(\sigma_X=\sqrt{0{,}89}\approx0{,}94\).

Ответ по пунктам

а) Отклонения \(X-EX\):

\[ -1{,}1;\quad -0{,}1;\quad 0{,}9 \]

с вероятностями \(0{,}4;\ 0{,}1;\ 0{,}5\).

б) Квадраты отклонений \((X-EX)^2\):

\[ 1{,}21;\quad 0{,}01;\quad 0{,}81 \]

с теми же вероятностями.

в) Дисперсия:

\[ DX=0{,}89 \]

г) Стандартное отклонение:

\[ \sigma_X=\sqrt{DX}\approx0{,}94 \]

Как это получается

1. Сначала находим математическое ожидание — среднее значение \(X\):

\[ EX=1\cdot0{,}4+2\cdot0{,}1+3\cdot0{,}5=2{,}1 \]

2. Вычитаем \(2{,}1\) из каждого значения \(X\). Вероятности не меняются, потому что каждому значению соответствует своё отклонение:

\[ 1-2{,}1=-1{,}1,\quad 2-2{,}1=-0{,}1,\quad 3-2{,}1=0{,}9 \]

3. Дисперсия — это среднее квадратов отклонений:

\[ DX=(-1{,}1)^2\cdot0{,}4+(-0{,}1)^2\cdot0{,}1+0{,}9^2\cdot0{,}5 \]

\[ DX=1{,}21\cdot0{,}4+0{,}01\cdot0{,}1+0{,}81\cdot0{,}5=0{,}89 \]

4. Стандартное отклонение — корень из дисперсии:

\[ \sigma_X=\sqrt{0{,}89}\approx0{,}943 \]

Проверка

Можно посчитать через \(E(X^2)\):

\[ E(X^2)=1^2\cdot0{,}4+2^2\cdot0{,}1+3^2\cdot0{,}5=5{,}3 \]

\[ DX=E(X^2)-(EX)^2=5{,}3-(2{,}1)^2=5{,}3-4{,}41=0{,}89 \]

Результат совпадает. Сумма вероятностей тоже равна \(1\), значит таблица заполнена верно.