реальные зависимости прямая и обратная пропорциональности
Кратко
Прямая пропорциональность — величины растут и уменьшаются вместе:
\[ y = kx, \qquad \frac{y}{x}=k \ (\text{постоянно}) \]
Во сколько раз больше одна — во столько же раз больше другая.
Обратная пропорциональность — одна растёт, другая во столько же раз падает:
\[ y=\frac{k}{x}, \qquad xy=k \ (\text{постоянно}) \]
Ключ ко всему — что именно остаётся неизменным в задаче.
Как различить на реальных примерах
| Ситуация | Что постоянно | Связь величин | Тип |
|---|---|---|---|
| Покупка товара по одной цене | цена | масса и стоимость | прямая |
| Дорога с постоянной скоростью | скорость | время и путь | прямая |
| Один и тот же путь | путь | скорость и время | обратная |
| Один и тот же объём работы | объём работы | производительность и время | обратная |
| Прямоугольник заданной площади | площадь | длина и ширина | обратная |
Проверка «на числах»: 1 кг стоит 80 р, 3 кг — 240 р. Отношение \(\frac{240}{3}=\frac{80}{1}=80\) — постоянно, значит связь прямая. А если 60 км/ч проезжаешь за 2 ч, то 120 км/ч — за 1 ч: произведение \(60\cdot 2 = 120\cdot 1\) — постоянно, значит связь обратная.
Как решать задачи
1. Выпиши величины и найди, какая из них не меняется. 2. Проверь, постоянно отношение или произведение. 3. Составь пропорцию:
- прямая: \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}\);
- обратная: \(x_1 y_1 = x_2 y_2\), то есть \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_2}{y_1}\).
Пример 1 (прямая). 4 тетради стоят 120 р. Сколько стоят 7 тетрадей?
\[ \frac{4}{7}=\frac{120}{x} \;\Rightarrow\; x=\frac{120\cdot 7}{4}=210 \text{ р} \]
Логика: тетрадей больше в \(1{,}75\) раза — и стоимость больше в \(1{,}75\) раза.
Пример 2 (обратная). 6 рабочих делают работу за 10 дней. За сколько дней её сделают 15 рабочих?
\[ 6\cdot 10 = 15\cdot x \;\Rightarrow\; x=\frac{60}{15}=4 \text{ дня} \]
Логика: рабочих больше в \(2{,}5\) раза — времени нужно в \(2{,}5\) раза меньше.
Проверка результата
- Подставь ответ обратно в пропорцию: \(15\cdot 4=60=6\cdot 10\) — верно.
- Проверь направление изменения: больше рабочих → меньше дней. Если получилось больше — пропорцию составили неверно.
- Помни: не всякая зависимость пропорциональна. Площадь квадрата от стороны \(S=a^2\) — не прямая пропорциональность: сторона выросла в 2 раза, а площадь — в 4.
